Les implications

Bonjour,
On travaille actuellement sur la logique mathématique et plus précisément sur les implications. Mes cours étant de l'enseignement inversé (j'ai mes cours chez moi et je travaille en classe le lendemain) j'ai un peu de mal à avancer sans comprendre certain concept, dont notamment les implications.

En effet, j'ai bien compris la table de vérité et ce que l'implication signifie : (non P) ou Q.

Mais prenons comme exemple :

Si on prend x = 15, pas de soucis P et Q sont vraie donc l'assertion est vraie. Mais si je prend x = 26, l'assertion P est fausse et l'assertion Q est également fausse. Cependant à cause de ce (non P) l'assertion reste vraie. Quel en est l'intérêt ?
Merci de votre aide et bonne journée.

J'aimais beaucoup la formulation 'Condition nécessaire et suffisante' que l'on utilisait pendant ma scolarité. J'ai l'impression que cette formulation a quasiment disparu. C'est dommage, parce que ces 2 mots traduisent parfaitement le concept des implications.

0 <= x <= 25, c'est une condition SUFFISANTE pour avoir racine(x) <= 5. Ce qui se traduit par l'implication que tu as écrite.

Il se trouve que c'est aussi une condition NECESSAIRE pour avoir racine(x) <= 5. Ce qui se traduit alors par une autre implication.

Et quand une condition est à la fois nécessaire et suffisante, alors on parle d'équivalence.

C'est un vocabulaire toujours existant. Il permet de dire rapidement la qualité d'une condition énoncée, donc il est encore utilisé.

J'aimais beaucoup la formulation 'Condition nécessaire et suffisante' que l'on utilisait pendant ma scolarité. J'ai l'impression que cette formulation a quasiment disparu. C'est dommage, parce que ces 2 mots traduisent parfaitement le concept des implications.

Tu confonds avec les équivalences. P implique Q signifie que :

• P est suffisant à Q, mais pas forcément nécessaire ;
• Q est nécessaire à P (mais pas forcément suffisant) ;
• non Q est suffisant à non P (mais pas forcément nécessaire) ;
• non P est nécessaire à non Q (mais pas forcément suffisant).

@adri1 Disons que la toute première phrase de mon message pouvait entraîner un quiproquo, et que ce quiproquo était levé dès qu'on lisait le message en entier.

Si on est tatillon, une équivalence ce n'est rien d'autre que deux implications …

Notons qu'être tatillon n'est nullement une condition nécessaire pour dire ça.

Mais c'est une condition suffisante.

Il faudrait définir la proposition « être tatillon » plus précisément.

Merci @KFC ton exemple est bien plus parlant !

Petite question @adri1 :

Q est nécessaire à P (mais pas forcément suffisant)

Pourquoi Q est nécessaire à P ? Qu'est-ce que ça signifie ?
Merci de votre aide.

Pourquoi Q est nécessaire à P ? Qu'est-ce que ça signifie ?

Q nécessaire à P signifie que si non-Q, alors non-P.

Exemple bête : (P) Avoir des carottes implique (Q) Avoir des légumes. Alors Avoir des légumes est nécessaire pour Avoir des carottes et Avoir des carottes suffisant pour Avoir des légumes.

Dit autrement pour le point qui te gène, Ne pas avoir de légumes empêche/interdit Avoir des carottes (autrement dit implique Ne pas avoir de carottes).

Si tu ressors ta table de vérité, tu verra que $P \implies Q $ est équivalent à $non Q \implies non P$.

Q est nécessaire à P signifie que P ne peut pas être vraie si Q ne l'est pas. Cela dit aussi que pour avoir P, il faut avoir Q, ou encore que… P implique Q !

Il y a de nombreuses manières pour exprimer que P implique Q. Elles sont toutes équivalentes (et heureusement !), et très souvent le choix d'une formulation plutôt qu'une autre conditionne grandement la compréhension du problème. Je propose un autre exemple que celui donné plus haut avec la lumière.

Considérons l'assertion S : « Il pleut », et l'assertion P : « Je prends mon parapluie ». L'assertion P implique Q signifie : « S'il pleut, alors je prends mon parapluie ». Dit autrement, pour que je prenne mon parapluie, il suffit qu'il pleuve. Ou encore, pour qu'il pleuve, il faut que je prenne mon parapluie¹.

Bonjour, L'exemple avec "il pleut" ==> "je prends mon parapluie" présente certains risques, étant donné qu'il fait partie des exemples classiques en algèbre de Boole. Je donnerai un autre exemple "Tintin est une fille" ==> "les chevaux ont des ailes". A mon avis, lorsqu'on écrit la table de vérité de l'implication, il est prudent de rappeler en même temps les tables de vérité de l'algèbre de Boole, fondamentale en informatique. Pour être franc, je ne connais pas d'exemple utilisable et réaliste de l'implication.

Si, chaque fois qu'il pleut, c_pages prend son parapluie, alors, si je vois c_page dans la rue sans son parapluie, c'est qu'il ne pleut pas.

Pour ton exemple avec tintin, je ne comprend pas… Les chevaux n'ont pas d'ailes n'implique nullement que tintin de ne soit pas une fille.

Vraiment ?

Si c_page prend vraiment son parapluie à chaque fois, oui. Pluie => c_page prend son parapluie. réciproque, pas de parapluie, pas de pluie.

Bonjour Gabbro, Cet exemple, je l'ai lu. Il y en a un autre, celui-là plus officiel, puisque je l'ai lu dans un cours (ou même LE cours). "2+3 = 25" ==> "je suis le Pape". Concernant le parapluie de c_page, l'implication est notée de la gauche vers la droite. C'est à dire "si il pleut alors je prends mon parapluie ET s'il ne pleut pas alors je ne prends pas mon parapluie". Une application possible, au Sahara puisqu'il ne pleut jamais (supposition), je ne prends jamais mon parapluie. L'implication inverse serait "il pleut" <== "parapluie", cad "j'ai pris mon parapluie, c'est parce qu'il pleut. La double implication "il pleut" <==> "parapluie" pourrait être comprise comme "la météo ne se trompe jamais ET je ne me trompe jamais". Je crois qu'on appelle cela une équivalence. Mais, il est vrai que cette notion me parait tellement artificielle que j'ai du mal à l'exprimer. Je vais chercher des références.

@ Gabbro, C'est la difficulté de cette notion. Une implication c'est {A ==> B} Si A est vrai ET que B est vrai, alors l'implication est vraie. Si A est faux, quel que soit B, l'implication est vraie. Si A est vrai et B est faux, alors l'implication est fausse. Dans l'exemple pluie-parapluie, on sait qu'un anglais ne sort jamais sans son parapluie. L'implication {"pluie" ==> "parapluie"] est vraie en Angleterre, même s'il ne pleut pas. {"A=faux" ==> "B=vrai"} est vraie. Voir : http://math.unice.fr/~frapetti/analyse/Logique.pdf 3.5 Implication logique

L'inconvénient de l'exemple avec la pluie, c'est qu'on peut sortir sans parapluie, et soudain, il se met à pleuvoir. Du coup, du point de vue pédagogique, je pense que c'est un mauvais exemple.

(j'avais mal lu la second proposition, ce qui devenait 'si je vois c_pages avec son parapluie c'est qu'il pleut, d'ou mon etonnement. Oublie donc.)