Exercice sur les fonctions

Salut à tous,

j’essaye de faire les exercices qui se trouvent page 5 de ce cour sur les limites et les fonctions continues et étant donné qu’il n’y a pas de correction j’appelle à votre bonne âme pour bien vouloir m’aider et me corriger.

Le premier exercice est assez simple,

Soit $U = ]- \infty,0[$ et $f: U \rightarrow \mathbb{R}$ définie par $f(x) = \frac{1}{x}$. $f$ est-elle monotone ? Et sur $U = ]0, + \infty[$ ? Et sur $U = ]-\infty, 0 [ \cup ]0, + \infty[$ ?

On sait que plus un nombre est proche de zéro plus son inverse est grand, s’il est positif, ou petit, s’il est négatif. Ainsi, $f$ est décroissante sur $U = ]- \infty,0[$ et croissante sur $U = ]0, + \infty[$ et donc monotone dans les 2 cas. Par contre sur $U = ]-\infty, 0 [ \cup ]0, + \infty[$, on a $f(1) = 1 \ge f(2) = 0.5$ qui implique $f$ non croissante et $f(1) = 1 \le f(0.5) = 2$ qui implique $f$ non décroissante. De ce fait $f$ n’est pas monotone sur cet intervalle.

Le second m’a donné plus de fil à retorde,

Pour deux fonctions paires que peut-on dire sur la parité de la somme ? du produit ? et de la composée ? Et pour deux fonctions impaires ? Et si l’une est paire et l’autre impaire ?

Considérons $x$, un réel et $f$ et $g$ deux fonctions paires.

Nous avons alors par définition de la fonction paire,

et donc la somme des deux fonctions est paire. De même nous avons

et

ainsi le produit et la composition sont aussi pairs.

Considérons $x$, un réel et $g$ et $f$ deux fonctions impaires.

Nous avons par définition de la fonction impaire,

et donc la somme est impaire. De la même manière, nous avons

et donc le produit est pair. Pour la composé, on a

ainsi la composé est impaire.

Considérerons $x$ un réel, $f$ une fonction paire et $g$ une fonction impaire.

Pour le produit nous avons par les définitions de la fonction paire et impaire :

et donc le produit est impaire. De même pour la composition nous avons

et

ainsi dans les deux cas la composition est paire.

Pour la somme je n’ai pas trouvé.

Merci d’avance pour vos réponses et votre aide.

Pour le premier exercice, tu t’es un peu mélangé. Astuce : fais un dessin (toujours faire un dessin).

Généralement je m’aide de Geogebra mais je pensais que l’imaginer suffira donc bon toujours faire un dessin.

Oui, là du coup j’ai vraiment fais n’importe quoi. Je pense que tu l’avais compris mais la justification d’après cherche un contre exemple aux assertions suivantes :

Et donc comme $1 > 0.5$ mais $f(1) < f(0.5)$, $f$ n’est pas croissante, de même $-0.5 < 0.5$ or $f(-0.5) < f(0.5)$, $f$ n’est pas décroissante. Donc $f$ n’est pas monotone.

Oui, je pense que ce serait plus concis. Donc considérons $x$ et $y$, deux réels positifs non nuls tel que $x \ge y$. Ainsi, en divisant $x$ et $y$ de chaque côté de l’inéquation on a $1/y \ge 1/x$ et donc $f$ est décroissante sur $U = \mathbb{R}^*_+$. De même en multipliant par $-1$ on a $-x \le -y$ et $1/-y \le 1/-x$ donc $f$ est aussi décroissante sur $U = \mathbb{R}^*_-$

Bah je ne conclus sur rien, je considère $f$ paire et $g$ impaire et alors j’ai

Et donc là je bloque, après ça diffère peut-être selon les fonctions choisies, puisque pour des polynômes la parité sera celle du plus grand et pour cosinus et sinus, la somme n’est ni paire ni impaire.

Est-ce que le fait que le calcul précédent n’aboutit pas peut être un argument nécessaire pour dire que cela dépend des fonctions choisies.

Ah oui, j’y avais pas pensé.

On souhaite trouver la parité de la somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire, or si l’on considère une fonction définie par $x^2$ et une autre définie par $x^4$ alors la somme des deux sera paire et donc non-impaire. De même considérons une fonction définie par $x^3$ et une autre définie par $x^5$ alors la somme des deux sera impaire et donc non-paire. Ainsi aucune loi générale ne peut être énoncée en ce qui concerne la somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire.

Oui, j’ai vraiment fais n’importe quoi. Par contre, il faut trouver un exemple non-pair et un non-impair, est-ce qu’un exemple à la fois non-pair et non-impair peut suffire ?

Donc :

Nous souhaitons déterminer la parité de la somme d’une fonction impaire et d’une fonction paire. Pour cela considérons $x$, un réel, $f$, une fonction paire et $g$, une fonction impaire. Or notons que pour $f(x) = \cos(x)$ et $g(x) = \sin(x)$, $(f+g)(x)$ n’est ni paire ni impaire. Ainsi, on ne peut conclure directement la parité dans ce cas.

J’ai plusieurs questionnements, je n’ai pas trouvé de cas la somme donnait une fonction paire ou impaire, en n’existe-t-il. Si c’est impossible comment le démontrer ?

Dans ton exemple avec sin et cos, tu affirmes que sin() + cos() n’est ni paire ni impaire. Tu as une preuve de ce que tu affirmes ?

Après sans représentation et bien, par une fonction impaire, zéro a toujours comme image zéro or du fait que $\cos(x) = 1$, $(\cos + \sin)(0) = 1$ et donc $\cos + \sin$ n’est pas impaire. De plus comme

alors cette fonction n’est pas paire non plus.

Considérons $g$, une fonction impaire, alors on peut affirmer

Supposons que $g = h+j$ soit la somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire, de ce fait

Et donc $j = 0$.

Ainsi en ajoutant le message d’Holosmos, on peut conclure que, hormis le cas de la fonction nulle, la somme d’une fonction impaire et d’une fonction paire ne sera ni paire ni impaire.

Malheureusement je n’est pas encore vu les dérivés.

T’es sûr, parce que $x^2 + 1$ est paire mais donne $1$ pour $x=0$

Malheureusement je n’est pas encore vu les dérivés.

D’accord, désolé.

J’ai voulu dire impaire, tu as raison. (En fait j’ai carrément inversé paire et impaire à chaque fois, je vais rectifier.)

Tu n’as pas à t’excuser, même si je ne peux pas encore utiliser ta remarque elle est quand même utile.

Tout a fais, d’ailleurs j’aurais dû le préciser directement mais je sais quand même, basiquement, ce qu’est une dérivé, ce quelle représente et à quoi elle sert.

C’est plus clair présenté ainsi.