Non ! Quand on fait un exercice de maths, on n’a pas droit aux erreurs d’inattention. Et quand on poste une question sur un forum, on ne fait pas des erreurs d’inattention. Tu as tapé ton message, tu as relu avant de taper ’Envoyer’. Et ni en tapant, ni en relisant, tu n’as détecté cette erreur. Ce n’est donc pas une erreur d’inattention, c’est une erreur que tu fais régulièrement. Et ça, ce n’est pas normal au lycée.
Ce type de calcul : retirer A de chaque côté, ou diviser par A de chaque coté, ça doit se faire mécaniquement, sans erreur.
Premier cas : $x \in ]-\infty;-1] \cup [1; +\infty[$
Alors $x^2 \ge 1$ donc $\frac{1}{x^2+x} \le 1$. Par conséquent $f^{-1}(x+1) - f^{-1}(x)$ est positif ce qui implique $f^{-1}$ croissante pour $x \in ]-\infty;-1] \cup [1; +\infty[$.
Second cas : $x \in ]0;1]$
Alors $x^2 \le 1$ donc $\frac{1}{x^2+x} \ge 1$. Par conséquent $f^{-1}(x+1) - f^{-1}(x)$ est négatif ce qui implique $f^{-1}$ décroissante pour $x \in ]0;1]$.
Troisième cas : $x \in ]-1;0[$
On sait que pour $x \in [0;1]$, $x^2 \le x$ et donc $x^2 - x \le 0$ ce qui est équivalent à $x^2 +x \le 0$ pour $x \in ]-1;0[$. Ainsi $\frac{1}{x^2+x}$ est négatif et donc $f^{-1}(x+1) - f^{-1}(x)$ est positif ce qui implique $f^{-1}$ croissante ??? (bah du coup oui vu qu’on ajoute 1)
En fait j’ai fait une grosse gourde, j’ai utilisé la définition de croissante pour une suite. Du coup tout ce qu’y a avant est faux. J’essaye de voir si je peux adapter ce raisonnement pour $f^{-1}(x+y) - f^{-1}(x)$ avec $y > 0$.
Je sais, en fait je me suis fait avoir par Geogebra, je me demandais justement si c’était la fonction réciproque et du coup j’ai marqué f^-1 qui du coup ne donne pas la fonction réciproque -_-.
Avant d’étudier les variations de $f$ commençons par étudier celles de $g$, une fonction telle que $g(x) = \frac{1}{f(x)}$. Ainsi comme montré précédemment $g(x) = x + \frac{1}{x}$. Avant tout remarquons que, avec $\epsilon > 0$, on a :
Premier cas : $\{x, x+\epsilon\} \subset [1,+\infty[$
Alors $x(x+\epsilon) \ge 1$ et $\frac{1}{x(x+\epsilon)} \le 1$ donc $g(x) - g(x + \epsilon) < 0$ ce qui équivaut à dire que $g$ est croissante pour $x \in [1,+\infty[$.
Second cas : $\{x, x+\epsilon\} \subset ]0,1]$
Alors $0 < x(x+\epsilon) \le 1$ et $\frac{1}{x(x+\epsilon)} \ge 1$ donc $g(x) - g(x + \epsilon) > 0$ ce qui équivaut à dire que $g$ est décroissante pour $x \in ]0,1]$.
Troisième cas : $\{x, x+\epsilon\} \subset [-1,0[$
Alors $0 < x(x+\epsilon) < 1$ et $\frac{1}{x(x+\epsilon)} \ge 1$ donc $g(x) - g(x + \epsilon) > 0$ ce qui équivaut à dire que $g$ est décroissante pour $x \in [-1,0[$.
Quatrième cas : $\{x, x+\epsilon\} \subset ]-\infty, -1]$
Alors $x(x+\epsilon) \ge 1$ et $\frac{1}{x(x+\epsilon)} \le 1$ donc $g(x) - g(x + \epsilon) < 0$ ce qui équivaut à dire que $g$ est croissante pour $x \in ]-\infty, -1]$.
Conclusion : Nous obtenons le tableau de variation suivant
Tableau de variation de $g(x) = x + \frac{1}{x}$
Ainsi comme $f(x) = \frac{1}{g(x)}$, on déduit le tableau de variation de $f$
Tableau de variation de $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$
Tu veux dire que les cas devrait être juste sur $x$ ? Je dois t’avouer que j’ai eu quelques difficultés à trouver les cas, notamment pour $x \in [-1,0[$ puisque si $\epsilon > 1$ on trouve $g$ croissante.
Bon, déjà ta fonction est impaire. Donc tu peux n’étudier que les variations sur $[0,+\infty[$.
Il faut aussi que tu arrives à utiliser le fait que la croissance et décroissance sont des propriétés locales. C’est-à-dire que tu peux prendre $\epsilon>0$ aussi petit que tu veux.
Il faut aussi que tu arrives à utiliser le fait que la croissance et décroissance sont des propriétés locales. C’est-à-dire que tu peux prendre $\epsilon>0$ aussi petit que tu veux.
Il faudrait faire comment ? Spécifier que le fait que l’on puisse prendre $\epsilon > 0$ aussi petit que l’on veut n’affecte pas le signe de $g(x) - g(x+\epsilon)$ ?
On remarque que pour $\epsilon$ qui tend vers $0$, $\frac{1}{x(x+\epsilon)}$ tend vers $\frac{1}{x^2}$. On distingue alors deux cas :
Premier cas : $x \in ]-\infty,-1] \cup [1,+\infty[$
Alors $x^2 \ge 1$ et donc $\frac{1}{x^2} \le 1$. Ainsi $g(x) - g(x+\epsilon)$ est négatif et donc $g$ est croissante pour $x \in ]-\infty,-1] \cup [1,+\infty[$.
Second cas : $x \in [-1,0[\cup]0,1]$
Alors $x^2 \le 1$ et donc $\frac{1}{x^2} \ge 1$. Ainsi $g(x) - g(x+\epsilon)$ est positif et donc $g$ est décroissante pour $x \in [-1,0[\cup]0,1]$.
Conclusion : cf. le tableau de variation précédemment posté.
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