Exercice sur les fonctions

L’exercice suivant est :

On note $\{x\} = x - E(x)$ la partie fractionnaire de $x$. Tracer le graphe de la fonction $x \mapsto \{x\}$ et montrer qu’elle est périodique.

Pour les positifs ça ne pose pas de problème, par contre pour les négatifs j’hésite entre ce que j’ai représenté en bleu et ce que j’ai représenté en vert, en fait non oubliez le vert.

Bon du coup je pense que l’exercice ne porte que sur la partie positive puisqu’avec la partie négative ça n’est juste pas périodique.

Donc :

Nous savons que chaque entier est séparé de son successeur par une unité et que les décimaux sont les même entre chaque entier ainsi cette fonction est périodique.

Le truc c’est que c’est vraiment pas formel.

Il faut déjà partir d’une définition de la partie entière de $x$. C’est le plus grand entier naturel inférieur ou égal à $x$. Quelle est la partie entière de $-3/4$ ? Quelle est donc sa partie fractionnaire ?

Avec cette définition je dirai $-1$ et donc par conséquent, la partie fractionnaire serait $1/4$.

Oui je connais la division euclidienne. Et donc du coup on a ça :

Sinon, comment pouvons nous montrer formellement, et sans le graphique que c’est périodique. Faut-il utiliser la division euclidienne ?

désolé pour le photomontage pourri

Pas pourri, amusant.

Excusez-moi pour la réponse tardive, je n’ai eu trop le temps de faire des maths et le beau temps n’a rien arrangé.

Du coup j’ai trouvé.

Considérons $x \in \mathbb{R}$, nous avons alors $\{x\} = x - E(x)$ or

donc $\{x\}$ est périodique.

Effectivement c’est un peu hâtif.

Par définition, la partie entière de $x$ réel, est l’unique entier relatif $n$ tel que $n \le x < n+1$ de cette inégalité on a $n+1 \le x+1 < (n+1 )+1 $ et donc $n+1$ est la partie entière de $x+1$ or comme $E(1) = 1$, $E(x+1) = E(x) + E(1)$.

Ah oui, sans avoir de preuves c’est bien ce que je m’imaginais, d’ailleurs c’est probablement faux mais je n’ai pas trouvé de contre exemple, $E(-0.5) = -1$ or $-0.5 = (-0.25) + (-0.25)$ et $E(-0.5) \ne 2\cdot E(-0.25) = -2$. Bon un problème de résolue, j’y ferais plus attention à l’avenir.

Du coup j’ai cherché pour l’exercice suivant que voici,

Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la fonction définie par $f = \frac{x}{1+x^2}$. Montrer que $|f|$ est majorée par $1/2$, étudier les variations de $f$ (sans utiliser de dérivée) et tracer son graphe.

Considérons x, un réel, nous avons alors $|f|(x) = \frac{|x|}{|1+x^2|}$. Ainsi, on a

Ainsi nous distinguons 2 cas, soit $x$ est nul et alors par la première expression on a $f(0) = 0 \le 1/2$, soit $x$ est non nul et dans ce cas on a

qui est forcément vrai puisque, par définition, la valeur absolue d’un nombre est positive. On vient de montrer que $|f|$ est majorée par $1/2$.

Pour la question suivante il faut faire le tableau de variation de $f$ ?

« cd » est l’abréviation de quoi ?

Ton raisonnement vace correctement

« vace » ? Tu veux dire quoi par là ?

Soit tu divises à droite et à gauche par 2, et tu obtiens un truc exact, soit tu retranches 2 à droite et à gauche, et tu obtiens un autre truc exact. mais ici tu as panaché, tu as divisé par 2 d’un côté, et tu as retranché 2 de l’autre.

Effectivement, erreur d’inattention, c’est donc

Effectivement, ça peut aider . Donc finalement on a

qui est obligatoirement vraie puisqu’un carré est toujours positif

C’est une faute de frappe, je voulais écrire « parce que ».

Pour étudier les variations de $f$ je dois juste faire le tableau de variations ? C’est la première fois que je vois ce type de questions.

Pourquoi commencer par étudier $\frac{1}{x} + x$ ?