[Maths] Marathon de problèmes

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Auteur du sujet

Bonsoir,

Je me dis que ce n’est pas une mauvaise idée de faire un marathon de problèmes de maths, ça permet de découvrir des exos sympa, de parler de maths et de progresser.

Bon voilà les règles du marathon, si quelqu’un veut ajouter ou modifier quelque chose, qu’il n’hésite pas :

1- Chaque problème possède un numéro (ça peut aider de mettre à côté le niveau d’études/connaissances requise pour résoudre le problème)

2- Celui qui a trouvé la réponse doit poster un autre problème.

3- Si la solution n’a pas été trouvée après 2 jours, celui qui a posté le problème doit poster une solution.

4- Si quelqu’un arrive à trouver une solution sans avoir un nouvel exercice, qu’il l’indique pour que quelqu’un d’autre le fasse.

5- Les solutions doivent être proposées en utilisant la balise secret, afin de ne pas spoiler deux qui sont intéressés par le problème.

6- Celui qui pose le problème ou bien d’autres personnes détenant la solution valident ou invalident les propositions de solutions.

Bon sans plus tarder je commence avec un problème relativement simple pour lancer le marathon :

Problème 1 : (Terminale) Trouver tous les entiers $n$ tels que $2^n+1$ est le cube d’un entier.

Bonne chance à tous ! :)

Édité par InaDeepThink

+4 -0

Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

Ce serait plus chouette de demander à ce que les solutions soient dans une balise secret. Comme ça ceux qui veulent répondre laissent aussi les autres chercher sans spoiler.

De plus :

Ne pas poster des solutions incomplètes et, par conséquent ne pas attendre de confirmation pour proposer un nouveau problème.

Je serai plutôt d’avis à ce que celui qui pose le problème assure qu’une des solutions proposées est juste et qu’on peut passer au problème qu’il choisit parmi ceux qui ont répondu

Tout le monde peut se tromper, ça serait dommage de rater un problème parce qu’on a cru le résoudre :)

Ça faisait longtemps que j’avais pas fait d’arithmétique, j’ai griffonné un peu sur un coin de feuille et ça donne ce qu’il y a ci-dessous. C’est peut-être un peu maladroit, voire faux, et j’ai omis quelques détails par paresse.

Si $n$ est un entier strictement négatif, alors $2^n + 1$ n’est pas entier, et n’est donc pas le cube d’un entier. On peut ainsi limiter la recherche aux entiers naturels.

On voit facilement que $n=0$ ne fonctionne pas, ce qui limite la recherche aux entiers naturels non nuls.

Soit $n$ un entier naturel non nul. Supposons qu’il existe un entier $k$ tel que $k^3 = 2^n + 1$.

On peut déduire de l’hypothèse que : (1) un tel $k$ est nécessairement impair et supérieur strictement à 1 et (2) $2^n = (k-1)(k(k+1)+1)$ (en factorisant).

On déduit de (1) que $(k-1)(k(k+1)+1)$ est le produit d’un nombre pair et d’un nombre impair supérieur strictement à 1. Ainsi, on en déduit que $2^n$ est divisible par un nombre impair différent de 1. Or, on sait que $2^n$ est une puissance de deux et donc tous ses diviseurs différents de 1 sont pairs. On aboutit donc à une contradiction et il n’existe pas de $k$ entiers vérifiant la propriété, et donc il n’existe aucun entier $n$ tel que $2^n + 1$ est le cube d’un entier.

+4 -0

Solution alternative.

On écrit $k$ en binaire. Le chiffre le moins significatif est $1$, et on doit avoir $k>1$. Soit $a$ l’unique entier tel que $k \equiv 1+2^a \mod 2^{a+1}$. En développant on trouve $k^3 \equiv 1+2^a \mod 2^{a+1}$. On en déduit que $a=n$. Mais c’est une contradiction car $k$ doit être strictement inférieur à $1+2^n$.

Édité par blo yhg

+3 -0

Bon, je promets pas d’avoir une imagination débordante.

Problème 2
Soit $f$ une application de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$. Déterminer pour tout $z_0 \in \mathbb{R}$ l’ensemble $f^{-1}(\{z_0\})$, dans le cas où il existe $(a, b) \in \mathbb{R^2}$ tel que $f : (x, y) \mapsto a x + b y $ et dans le cas où $f : (x, y) \mapsto \sqrt{x^2 + y^2} $.

+1 -0

La flemme d’écrire les détails alors je reponds topologiquement/géométriquement :p

Dans le premier cas, on a des équations de la forme $ax+by=z_0$. Ce sont les équations d’hyperplans, donc des droites, et qui s’envoient les unes sur les autres par translations.

Dans le second, on a des solutions lorsque $z_0\geq 0$, donnant alors les équations $x^2+y^2=z_0^2$. Ce sont des cercles centrés en 0 et dont le rayon est $z_0$. Notons le cas particulier $z_0=0$ donnant un unique point ($(0,0)$).

Proposition de problème : quels sont les pavages possibles du plan euclidien par des polygones reguliers ? Du plan hyperbolique ?

Édité par Holosmos

En plan euclidien ça veut dire le plan genre "standard" ? help :lol:

EDIT : Réponse modifiée, comme le dit Holosmos j’me suis trompé entre angle interne et angle au centre. J’ai essayé de faire mieux :

Je joue juste pour voir, car de toute façon la deuxième partie sur le plan hyperbolique m’est totalement inconnu. J’pars de mes bases en cristallographie qui m’induisent la réponse suivante :

  • triangle équilatéraux, ça fonctionne
  • carré, ça fonctionne on connait tous nos carrelages à la maison
  • pentagone ça cloche
  • hexagone régulier (car composé de triangle équilatéraux donc facile à déduire), ruche d’abeille narmol.

Pour les 3 cas qui fonctionnent on peut se rendre compte que les angles $\alpha$ interne aux points de rencontre des polygones est toujours un multiple de $360$. Ce qui nous donne donc une solution limitée aux diviseurs entier de $360°$ pour $\alpha$ comme pour $n$.

Bon avec ça on peut utiliser tout les triangles isocèles imaginables mais ce ne sont pas des polygones parfait.

Pour le pentagone ça cloche parce que l’angle interne n’est donc pas multiple entier de $360$. Voici comment calculer l’angle au centre des polygones :

$$\mathrm{ \sum_i \theta_i = 360° }$$
$$\mathrm{ \dfrac{360}{a} = \theta }$$
  • Triangle, $\mathrm{a = 3}$, $\mathrm{\dfrac{360}{3} = 120°}$
  • Carré, $\mathrm{a = 4}$, $\mathrm{\dfrac{360}{4} = 90°}$
  • Pentagone, $\mathrm{a = 5}$, $\mathrm{\dfrac{360}{5} = 72°}$
  • Hexagone, $\mathrm{a = 6}$, $\mathrm{\dfrac{360}{6} = 60°}$

On sait que le dessin issu de ces calculs nous donne :

Donc nous formons des triangles, objets qu’on connait bien pour établir la relation suivante :

$$\mathrm{ \theta + 2b = 180° }$$

Avec $\beta$ "angle interne" et "angle au centre" considérés à chaque triangle que l’on vient de créer. On obtient alors les relations suivantes :

$$2b = \alpha$$
$$\alpha + \theta = 180°$$
$$180 - \theta = \alpha $$
  • Triangle : $180 - 120 = 60° $
  • Carré : $180 - 90 = 90° $
  • Pentagone : $180 - 82 = 108° $
  • Hexagone : $180 - 60 = 120° $

$108°$ n’étant pas un multiple entier de $360°$ il ne peut exister de pavage de pentagone (voir pavage de Panrose pour plus de fun avec les pavages/pentagone)

Édité par Blackline

Нова Проспект

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C’est trop rapide, j’ai même pas eu le temps de résoudre le 1er problème xD.

LudoBike

Celui dernier devrait vous laisser plus de temps :-)

Démonstration faites avec les mains:

Dans le plan pour qu’un objet régulier pave parfaitement la zone il faut qu’à un point où les polygone se rencontrent l’angle soit fermé à $360°$ et que donc les angle externe des figures soit un multiple entier de cet angle. Pour le triangle équilatéral, avec pour angle externe $60°$ ce qui nous donne 6 triangle pour 1 point de rencontre car : $6 \times 60° = 360°$. Pour le carré $90°$ donc on a $4 \times 90° = 360°$ et au final l’hexagone : $3 \times 120° = 360°$

Blackline

Il n’y a pas d’erreur. Mais il manque deux choses :

  • tout d’abord le calcul des angles que tu utilises ;
  • la raison pour laquelle il n’y a pas d’autre pavage possible.

(Par ailleurs, tu parles d’angle externe. J’ai plutôt tendance à parler d’angle intérieur, ce qui paraît plus logique, non ?.)

Un peu triste que personne n’ai résolu mon problème ! :(

Voici une solution, mais n’hésitez pas à chercher plus longtemps, c’est pas bien difficile.

On commence par décrire le problème en des termes plus faciles à manipuler. On discutera des plans euclidien et hyperbolique après.

Pour faire un pavage par des polygones régulier, il n’y a en fait qu’une seule condition à respecter. Il faut qu’à chaque sommet, la somme des angles intérieurs des polygones adjacents fasse bien $2\pi$. En effet, cette condition est forcément nécessaire. Elle est suffisante parce que les polygones sont réguliers.

Regardons le plan euclidien. Si je prends $P$ un polygone régulier à $n$ côtés dans le plan euclidien, il n’est pas difficile de calculer l’angle intérieur d’un sommet. C’est

$$\frac{(n-2)\pi}{n}.$$

Ainsi, pour obtenir $2\pi$ je dois trouver $k$ tel que

$$\frac{k(n-2)}{n} = 2$$

Regardons modulo 2. On obtient $kn=0$. Cela montre que $k$ ou $n$ est pair.

Si $n$ est pair, alors on écrit $n=2j$ et on obtient :

$$\frac{k(2j-2)}{2j}=2 \iff \frac{k(j-1)}{j}=2$$

donc $j$ divise $k$ ($j$ et $j-1$ sont premiers entre eux). Donc $k =mj$. On obtient alors :

$$ m(j-1) =2.$$

Ou bien $m=2$ et $j-1=1$ donc $j=2$, ce qui donne $(n,k)=(4,4)$, qui est le pavage du carré. Ou bien $m=1$ et $j-1=2$ donc $j=3$, cela donne $(n,k) =(6,3)$, qui est le pavage hexagonal.

Supposons à présent $k= 2m$ pair et $n$ impair. On obtient

$$\frac{2m(n-2)}n =2\iff \frac {m(n-2)}n=1$$

donc $mn-2m =n$ ce qui donne $m(n-1) =2m$. Donc $n-1=2$ donc $n=3$ et $(n,k) = (3,6)$ qui est le pavage du triangle.

On a donc résolu le problème pour le plan euclidien.

Dans le plan hyperbolique c’est bien plus simple. L’angle interne d’un polygone régulier peut prendre toutes les valeurs strictement comprises entre $(n-2)\pi/n$ et $0$. Donc on peut réaliser tous les pavages à l’exception de ceux réalisés par le plan euclidien (qui prennent pour valeur d’angle exactement $(n-2)\pi/n$, ce qui n’est pas possible dans le plan hyperbolique).

Le nombre, $k$, de polygones à recoller pour former un pavage par un polygone régulier à $n$ côtés n’est cependant pas totalement libre. Saurez-vous le calculer ?

@Holosmos, dans ton problème est-ce que le pavage doit être composé d’un seul type de polygones réguliers ou il faut-il prendre en compte les cas où on a, par exemple, des triangles et des hexagones ?

« La Nature est un livre écrit en langage mathématique », Galilée

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