[Maths] Marathon de problèmes

Tu cherche les solutions de $2^n+1 = k^3, k \in \mathbb{N}$, et factorise.

Si $n$ est un entier strictement négatif, alors $2^n + 1$ n’est pas entier, et n’est donc pas le cube d’un entier. On peut ainsi limiter la recherche aux entiers naturels.

On voit facilement que $n=0$ ne fonctionne pas, ce qui limite la recherche aux entiers naturels non nuls.

Soit $n$ un entier naturel non nul. Supposons qu’il existe un entier $k$ tel que $k^3 = 2^n + 1$.

On peut déduire de l’hypothèse que : (1) un tel $k$ est nécessairement impair et supérieur strictement à 1 et (2) $2^n = (k-1)(k(k+1)+1)$ (en factorisant).

On déduit de (1) que $(k-1)(k(k+1)+1)$ est le produit d’un nombre pair et d’un nombre impair supérieur strictement à 1. Ainsi, on en déduit que $2^n$ est divisible par un nombre impair différent de 1. Or, on sait que $2^n$ est une puissance de deux et donc tous ses diviseurs différents de 1 sont pairs. On aboutit donc à une contradiction et il n’existe pas de $k$ entiers vérifiant la propriété, et donc il n’existe aucun entier $n$ tel que $2^n + 1$ est le cube d’un entier.

On écrit $k$ en binaire. Le chiffre le moins significatif est $1$, et on doit avoir $k>1$. Soit $a$ l’unique entier tel que $k \equiv 1+2^a \mod 2^{a+1}$. En développant on trouve $k^3 \equiv 1+2^a \mod 2^{a+1}$. On en déduit que $a=n$. Mais c’est une contradiction car $k$ doit être strictement inférieur à $1+2^n$.

Dans le premier cas, on a des équations de la forme $ax+by=z_0$. Ce sont les équations d’hyperplans, donc des droites, et qui s’envoient les unes sur les autres par translations.

Dans le second, on a des solutions lorsque $z_0\geq 0$, donnant alors les équations $x^2+y^2=z_0^2$. Ce sont des cercles centrés en 0 et dont le rayon est $z_0$. Notons le cas particulier $z_0=0$ donnant un unique point ($(0,0)$).

Je joue juste pour voir, car de toute façon la deuxième partie sur le plan hyperbolique m’est totalement inconnu. J’pars de mes bases en cristallographie qui m’induisent la réponse suivante :

• triangle équilatéraux, ça fonctionne
• carré, ça fonctionne on connait tous nos carrelages à la maison
• pentagone ça cloche
• hexagone régulier (car composé de triangle équilatéraux donc facile à déduire), ruche d’abeille narmol.

Pour les 3 cas qui fonctionnent on peut se rendre compte que les angles $\alpha$ interne aux points de rencontre des polygones est toujours un multiple de $360$. Ce qui nous donne donc une solution limitée aux diviseurs entier de $360°$ pour $\alpha$ comme pour $n$.

Pour le pentagone ça cloche parce que l’angle interne n’est donc pas multiple entier de $360$. Voici comment calculer l’angle au centre des polygones :

• Triangle, $\mathrm{a = 3}$, $\mathrm{\dfrac{360}{3} = 120°}$
• Carré, $\mathrm{a = 4}$, $\mathrm{\dfrac{360}{4} = 90°}$
• Pentagone, $\mathrm{a = 5}$, $\mathrm{\dfrac{360}{5} = 72°}$
• Hexagone, $\mathrm{a = 6}$, $\mathrm{\dfrac{360}{6} = 60°}$

On sait que le dessin issu de ces calculs nous donne :

Donc nous formons des triangles, objets qu’on connait bien pour établir la relation suivante :

Avec $\beta$ "angle interne" et "angle au centre" considérés à chaque triangle que l’on vient de créer. On obtient alors les relations suivantes :

• Triangle : $180 - 120 = 60° $
• Carré : $180 - 90 = 90° $
• Pentagone : $180 - 82 = 108° $
• Hexagone : $180 - 60 = 120° $

$108°$ n’étant pas un multiple entier de $360°$ il ne peut exister de pavage de pentagone (voir pavage de Panrose pour plus de fun avec les pavages/pentagone)

• tout d’abord le calcul des angles que tu utilises ;
• la raison pour laquelle il n’y a pas d’autre pavage possible.

(Par ailleurs, tu parles d’angle externe. J’ai plutôt tendance à parler d’angle intérieur, ce qui paraît plus logique, non ?.)

On commence par décrire le problème en des termes plus faciles à manipuler. On discutera des plans euclidien et hyperbolique après.

Pour faire un pavage par des polygones régulier, il n’y a en fait qu’une seule condition à respecter. Il faut qu’à chaque sommet, la somme des angles intérieurs des polygones adjacents fasse bien $2\pi$. En effet, cette condition est forcément nécessaire. Elle est suffisante parce que les polygones sont réguliers.

Regardons le plan euclidien. Si je prends $P$ un polygone régulier à $n$ côtés dans le plan euclidien, il n’est pas difficile de calculer l’angle intérieur d’un sommet. C’est

Ainsi, pour obtenir $2\pi$ je dois trouver $k$ tel que

Regardons modulo 2. On obtient $kn=0$. Cela montre que $k$ ou $n$ est pair.

Si $n$ est pair, alors on écrit $n=2j$ et on obtient :

donc $j$ divise $k$ ($j$ et $j-1$ sont premiers entre eux). Donc $k =mj$. On obtient alors :

Ou bien $m=2$ et $j-1=1$ donc $j=2$, ce qui donne $(n,k)=(4,4)$, qui est le pavage du carré. Ou bien $m=1$ et $j-1=2$ donc $j=3$, cela donne $(n,k) =(6,3)$, qui est le pavage hexagonal.

Supposons à présent $k= 2m$ pair et $n$ impair. On obtient

donc $mn-2m =n$ ce qui donne $m(n-1) =2m$. Donc $n-1=2$ donc $n=3$ et $(n,k) = (3,6)$ qui est le pavage du triangle.

On a donc résolu le problème pour le plan euclidien.

Dans le plan hyperbolique c’est bien plus simple. L’angle interne d’un polygone régulier peut prendre toutes les valeurs strictement comprises entre $(n-2)\pi/n$ et $0$. Donc on peut réaliser tous les pavages à l’exception de ceux réalisés par le plan euclidien (qui prennent pour valeur d’angle exactement $(n-2)\pi/n$, ce qui n’est pas possible dans le plan hyperbolique).

Le nombre, $k$, de polygones à recoller pour former un pavage par un polygone régulier à $n$ côtés n’est cependant pas totalement libre. Saurez-vous le calculer ?