[Maths] Marathon de problèmes

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Bonjour,

@Holosmos : Est-ce que tu as une réponse différente pour le problème précédent ? Tu as d’autres défis de la même source ?

Voici un autre problème.

Quels sont les triangles équilatéraux qui ont des coordonnées entières ? Les triangles isocèles ? Les triangles rectangles ? (Il faut dire en gros comment les obtenir tous, sans forcément tout bien détailler.)

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Auteur du sujet

J’ai pas le temps pour le reste, voilà déjà la réponse pour les triangles équilatéraux :

Il n’en existe pas (en considérant qu’un point n’est pas un triangle équilatéral). Supposons PA qu’il en existe, si c’est le cas en se plaçant dans le plan complexe on doit avoir un triangle ayant deux points d’affixes 00 et k+qi,k,qZk+qi, k, q \in \mathbb{Z}, le troisième point à donc pour affixe : ei±π/3(k+qi)e^{i\pm \pi/3} \cdot (k + qi), et ce point n’est clairement pas à coordonnées entières puisque 3\sqrt 3 est irrationnel.

N.B: désolé mais mon portable bug donc je ne peux pas mettre en caché

Édité par InaDeepThink

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Pour les triangles rectangles : On prend un point A quelconque (xA,yA). On prend un point B quelconque (xB, yB) avec xA,yA, xB et yB entiers quand même.

Et on prend tous les points C obtenus par xC = xA + k(yB-yA) , yC = yA -k(xB-xA) avec ke entier quelconque non nul. Tous les triangles (ABC) ainsi obtenus sont rectangles en A

Pour les triangles isocèles, on procède pratiquement de la même façon que pour les triangles rectangles. Un triangle isocèle, c’est 2 triangles rectangles 'symétriques’.

On prend donc 2 points A et B à coordonnées entières. H le milieu de AB. C, sur la perpendiculaire à AB pasant par H : xC = xH + k(yH-yA) , yC = yH -k(xH-xA) avec k entier, ou demi-entier. Tous les triangles ABC obtenus sont isocèles, reste à rejeter ceux pour lesquels C n’est pas à cooronnées entières.

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Oui elegance, ça fonctionne.

(Je me rends compte que je me suis planté dans la formulation de ma question : je voulais demander les triangles rectangles et les triangles isocèles qui sont à côtés entiers et non à coordonnées entières. Mais tant pis !)

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Auteur du sujet

Ah bon ? Parce-que la réponse est alors immédiate si on connaît les triplets pythagoriciens.

ÉDIT : élégance tu peux proposer un autre problème.

Édité par InaDeepThink

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Oui, c’est équivalent : trouver les triplets pythagoriciens. Le point commun entre les deux questions (triangle équilatéral et triplets pythagoriciens) c’était qu’on pouvait les résoudre grâce à Q[i]ℚ[i] (on prend tous les nombres complexes dont les coordonnées sont rationnelles, c’est stable par inversion). C’est ce que tu as utilisé implicitement dans ta réponse.

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Auteur du sujet

Bon je propose un problème. Normalement il y a des questions intermédiaires donc si vous bloquez je les mettrai.

Soit fC(R2,R)f \in C^{\infty}(\mathbb{R}^2, \mathbb{R}), DD le disque unité fermé et qq l’application qui à vR2v \in \mathbb{R}^2 associé x2+y2-x^2+y^2. On fait l’hypothèse qu’en dehors de DD on a : f=qf =q.

Montrer que le gradient de ff s’annule.

Édité par InaDeepThink

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L’indice du gradient autour du cercle est non nul, donc il existe un point critique dans le disque. Je suppose que ça ne compte pas vraiment comme solution, mais je ne pouvais pas m’empêcher de citer ce joli théorème.

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Auteur du sujet

Y a une jolie façon de démontrer Poincaré-Hopf que j’ai trouvé dans le livre de Thurston. Ça peut se faire à la main, mais malheureusement je suis pas à proximité de mon pc pour le rédiger

Holosmos

Je ne connaissais pas ce théorème. Mais si un jour tu as le temps de mettre cette démo ça m’intéresse.

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