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Physique de la corde de guitare

Introduction à la physique des cordes vibrantes

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La guitare et ses innombrables variantes comptent parmi les instruments de musique les plus populaires. Mais savez-vous comment une guitare produit du son ?

Les détails du fonctionnement diffèrent selon que la guitare est électrique ou acoustique, mais dans les deux cas, tout commence par la vibration d’une corde. Cette corde oscille d’une manière précise, qu’on peut prédire grâce à ses caractéristiques et aux lois de la physique.

Dans cet article, nous commencerons par décrire le comportement d’une corde de guitare. Nous déduirons ensuite une équation régissant le mouvement de la corde à partir d’un modèle simple de celle-ci. La résolution de l’équation nous permettra ensuite d’expliquer les comportements expérimentaux au regard du modèle.

Expérimentations sur une guitare basse

En musique, le son produit par une corde de guitare ou tout autre instrument est principalement décrit par :

  • sa hauteur, c’est-à-dire le caractère aigu ou grave du son produit ;
  • son timbre, c’est-à-dire les caractéristiques du son qui permettent de distinguer un instrument d’un autre lorsqu’ils jouent à la même hauteur ;
  • son volume, c’est-à-dire le caractère bruyant ou non du son.

En physique, le même son sera décrit par des notions analogues :

  • sa fréquence fondamentale, qui traduit la hauteur perçue de la note : une fréquence élevée correspond à une note aiguë et une fréquence basse à une note grave ;
  • son spectre, qui caractérise à la fois l’intensité globale du son (le volume) et la répartition de l’intensité entre les différentes fréquences composant le son (le timbre).

À la guitare, on peut jouer différentes notes (et donc différentes fréquences fondamentales) de plusieurs manières :

  • en bloquant la corde contre les frettes du manche, ce qui a pour effet de raccourcir la partie en vibration de la corde ;
  • en serrant ou desserrant les mécaniques pour changer la tension de la corde ;
  • en changeant la corde que l’on joue, ce qui revient à utiliser une corde plus grosse et donc plus lourde à longueur égale.

Influence de la longueur de la corde

Voyons l’influence de la longueur de la corde sur la fréquence fondamentale (ou hauteur) du son produit, en gardant la tension et l’inertie de la corde identiques.

À cette fin, j’ai réalisé une petite expérience avec ma guitare basse. J’ai enregistré le son produit par une corde (la corde de sol, la plus fine) pour différentes longueurs, et ai mesuré sa fréquence. Les résultats sont dans la figure ci-dessous.

La fréquence diminue avec la longueur de la corde.
La fréquence diminue avec la longueur de la corde.

Ainsi, la fréquence semble être inversement proportionnelle à la longueur de la corde, toutes choses égales par ailleurs. Autrement dit, des cordes ayant les mêmes caractéristiques produisent des sons d’autant plus graves qu’elles sont longues.

Influence de la tension

Voyons l’influence de la tension de la corde sur la fréquence fondamentale (ou hauteur) du son produit, en gardant la longueur et l’inertie de la corde identiques.

N’ayant pas de moyen de mesurer en valeur absolue la tension de la corde, la mesure est exprimée en quart de tour dans le sens permettant de tendre la corde par rapport à une position de référence. Pour chaque position, on mesure la fréquence du son produit. Les résultats sont dans la figure ci-dessous.

La fréquence augmente avec la tension de la corde.
La fréquence augmente avec la tension de la corde.

Ainsi, la fréquence augmente avec la tension de la corde, toutes choses égales par ailleurs. Autrement dit, plus une corde est tendue, plus le son qu’elle produit est aigu.

Influence de l’inertie de la corde

Voyons l’influence de l’inertie de la corde sur la fréquence fondamentale (ou hauteur) du son produit, en gardant la longueur et la tension de la corde identiques.

Il n’y a malheureusement pas de moyen facile de s’assurer que la tension est constante entre les différentes cordes. Cependant, il est raisonnable de supposer que les différentes cordes ont des tensions comparables. On mesure donc ici les différentes cordes de la basse de la plus grosse à la plus fine sans autre précaution. Les résultats sont dans la figure ci-dessous.

La fréquence diminue à mesure que l'inertie de la corde augmente.
La fréquence diminue à mesure que l'inertie de la corde augmente.

Ainsi, la fréquence diminue à mesure que l’inertie de la corde augmente, aux réserves déjà formulées ci-dessus près. Autrement dit, il semble que plus la corde est grosse, plus le son qu’elle produit est grave.

Modèle de la corde vibrante

Modèle de la corde vibrante

Au regard de la section précédente, notre modèle doit rendre compte des notions d’inertie, de tension et de longueur de la corde.

Nous choisissons de modéliser notre corde comme un fil de longueur LLL, fixé à ses deux extrémités de sorte à y être immobile.

Ce fil est aussi sans raideur, autrement dit mou comme des spaghettis trop cuits. Ceci est une idéalisation, puisque les cordes de guitare ont tendance à se tenir droite d’elles-mêmes, ce qui est une des manifestations de leur raideur. On peut aussi voir une corde sans raideur comme une corde infiniment fine, qui n’aurait pas de comportement semblable à ceux d’une tige.

L’inertie de la corde est traduite par ce qu’on appelle la masse linéique, qui est tout simplement la masse de corde par unité de longueur. Une grosse corde aura une masse linéique élevée, alors qu’une petite corde aura une masse linéique faible. Le matériau est important : à forme égale, les cordes en métal ont par exemple une masse linéique plus élevée que les cordes en nylon. Notre corde aura une masse linéique μ\muμ (lettre grecque « mu »). Notre longueur LLL de corde aura ainsi une masse mmm égale à μL\mu \cdot LμL.

Notre corde sera tendue avec une force T\vec{T}T à chaque extrémité. Par ailleurs, nous supposerons que cette force est suffisamment élevée pour tenir la corde bien droite, comme la corde d’un arc, et non pas ballante comme une guirlande de Noël. Cette hypothèse permet de négliger le poids de la corde, puisque le mouvement de la corde ne sera pas affecté significativement par son poids. Autrement dit, jouer de la guitare la tête en bas ou allongé ne change rien au son produit.

Par ailleurs, nous négligerons l’interaction de la corde avec l’air, les fixations de la guitare, ainsi que les frottements internes à la corde. Ces mécanismes permettent de dissiper l’énergie de la corde et d’atténuer ses vibrations. En les négligeant, cela revient seulement à considérer que les vibrations durent un temps infini. Cela n’est pas absurde, puisqu’une note jouée sur une guitare basse peut durer plus d’une dizaine de secondes avant de voir son intensité baisser sensiblement.

Ces informations sont suffisantes pour commencer la mise en équations !

Mise en équations

Mise en place

Commençons tout d’abord par choisir un repère de l’espace (Ox,Oy,Oz)(Ox,Oy,Oz)(Ox,Oy,Oz) de sorte que (Ox)(Ox)(Ox) et (Oy)(Oy)(Oy) soient à l’horizontale et (Oz)(Oz)(Oz) à la verticale. Nous avons vu précédemment que la position de la corde dans l’espace n’est pas essentielle ; pour simplifier les calculs, nous la considérons horizontale, alignée avec l’axe des abscisses. Au repos, tous les points de la corde sont à l’altitude z=0z=0z=0.

Si on déplace la corde de manière quelconque, les coordonnées des points vont varier a priori dans toutes les directions. Comme nous considérons une corde parfaitement souple, les différentes directions n’ont pas d’influence les unes sur les autres1, et nous nous contenterons d’étudier les mouvements selon le seul axe vertical (Oz)(Oz)(Oz).

Puisque la corde est fixée à ses extrémités et tendue, tout une gamme de mouvements est impossible. Notamment, la corde ne peut pas s’enrouler sur elle-même, claquer comme un fouet, ou bouger dans une direction ou une autre de plus de quelques fractions de sa longueur. Dans ces conditions, étudier le mouvement de la corde, c’est s’intéresser aux petites déviations de part et d’autre de la position d’équilibre, c’est-à-dire de l’horizontale. L’équation du mouvement de la corde s’obtient alors en étudiant le mouvement d’une petite section de corde en fonction de celui des sections de corde adjacentes.

On considère un point quelconque d’abscisse xxx, qui a la possibilité de bouger verticalement, et dont la position est donc décrite par son altitude z(x,t)z(x,t)z(x,t). Si on prend une petite portion de corde de longueur dl\mathrm{d} ldl à commençant à la position xxx sur la corde, on peut déjà exprimer sa masse à partir de la masse linéique de la corde : μdl\mu \cdot \mathrm{d} lμdl. La portion de corde a l’extrémité gauche à une hauteur z(x,t)z(x, t)z(x,t) et son extrémité droite à une hauteur z(x+dx,t)z(x+\mathrm{d} x, t)z(x+dx,t). À chaque extrémité, la tension est tangente à la corde (par définition), et la droite tangente forme un angle avec l’horizontale θ(x,t)\theta(x, t)θ(x,t) à gauche et θ(x+dx,t)\theta(x+\mathrm{d} x, t)θ(x+dx,t) à droite.

Position du segment de corde.
Position du segment de corde.

La tension de la corde est choisie de norme TTT. Comme il n’y a pas de mouvement global, cette valeur est la même aux deux fixations, sinon la corde se déplacerait sur l’axe des abscisses. Et comme la corde n’est pas élastique, la norme reste constante et égale à TTT aux extrémités de toute portion de corde prise individuellement.

Ceci étant, on peut obtenir les coordonnées en projetant la tension sur les différents axes. Ainsi, on a pour l’axe des abscisses :

Tx(x,t)=Tcosθ(x,t)T_x(x, t) = -T\cdot \cos \theta(x,t)Tx(x,t)=Tcosθ(x,t) Tx(x+dx,t)=Tcosθ(x+dx,t)T_x(x+\mathrm{d}x, t) = T \cdot \cos \theta(x+\mathrm{d}x,t)Tx(x+dx,t)=Tcosθ(x+dx,t)

Et pour l’axe des ordonnées, on obtient :

Tz(x,t)=Tsinθ(x,t)T_z(x, t) = -T \cdot \sin\theta(x,t)Tz(x,t)=Tsinθ(x,t) Tz(x+dx,t)=Tsinθ(x+dx,t)T_z(x+\mathrm{d}x, t) = T \cdot \sin\theta(x+\mathrm{d}x,t)Tz(x+dx,t)=Tsinθ(x+dx,t)

Application du principe fondamental de la dynamique

On applique le principe fondamental de la dynamique au petit élément de corde selon l’axe vertical : μdl2zt2(x,t)=Tz(x+dx,t)+Tz(x)\mu \cdot \mathrm{d} l \cdot \frac{\partial^2 z}{\partial t^2 }(x,t) = T_z(x+\mathrm{d} x,t) + T_z (x)μdlt22z(x,t)=Tz(x+dx,t)+Tz(x)

En utilisant les expressions de TzT_zTz ci-avant, on obtient l’expression : μdl2zt2(x,t)=Tsinθ(x+dx,t)Tsinθ(x,t)             (1)\mu \cdot \mathrm{d}l \cdot \frac{\partial^2 z}{\partial t^2 }(x,t) = T \cdot \sin\theta(x+\mathrm{d} x,t) - T \cdot \sin\theta(x,t) ~~~~~~~~~~~~~(1)μdlt22z(x,t)=Tsinθ(x+dx,t)Tsinθ(x,t)             (1)

Pour exprimer sinθ(x,t)\sin \theta(x,t)sinθ(x,t), il faut trouver un moyen d’exprimer θ(x,t)\theta(x,t)θ(x,t). Il est facile d’exprimer sa tangente, puisque la droite tangente a pour coefficient directeur la dérivée par rapport à xxx : tanθ(x,t)=zx(x,t)\tan\theta(x,t) = \frac{\partial z}{\partial x}(x,t)tanθ(x,t)=xz(x,t)

Aussi, en utilisant la fonction réciproque, on obtient l’angle : θ(x,t)=arctanzx(x,t)\theta(x,t) = \arctan \frac{\partial z}{\partial x}(x,t)θ(x,t)=arctanxz(x,t)

En appliquant le sinus, on trouve alors : sinθ(x,t)=sin(arctanzx(x,t))\sin \theta(x,t) = \sin \left(\arctan \frac{\partial z}{\partial x}(x,t) \right)sinθ(x,t)=sin(arctanxz(x,t))

Cette expression est assez compliquée (et non linéaire), et il est possible de se simplifier la vie en la linéarisant, ce qui revient à faire l’approximation que les angles sont petits, et que donc zx(x,t)\frac{\partial z}{\partial x}(x,t)xz(x,t) l’est aussi. On peut alors faire un développement limité au premier ordre en x=0x=0x=0 de sin(arctanx)\sin(\arctan x)sin(arctanx) pour obtenir :

sin(arctanx)x\sin(\arctan x) \approx xsin(arctanx)x

On utilise ensuite l’approximation pour faire la simplification suivante :

sinθ(x,t)zx(x,t)\sin \theta(x,t) \approx \frac{\partial z}{\partial x}(x,t)sinθ(x,t)xz(x,t)

Similairement, on montre que : sinθ(x+dx,t)zx(x+dx,t)\sin\theta(x+\mathrm{d}x,t) \approx \frac{\partial z}{\partial x}(x + \mathrm{d}x, t)sinθ(x+dx,t)xz(x+dx,t)

Ainsi, en remplaçant dans (1) : μdl2zt2(x,t)=T(zx(x+dx,t)zx(x,t))             (2)\mu \cdot \mathrm{d}l \cdot \frac{\partial^2 z}{\partial t^2 }(x,t) = T \cdot \left(\frac{\partial z}{ \partial x}(x+\mathrm{d} x,t) - \frac{\partial z}{ \partial x}(x,t)\right) ~~~~~~~~~~~~~(2)μdlt22z(x,t)=T(xz(x+dx,t)xz(x,t))             (2)

En développant au premier ordre zx(x+dx,t)\frac{\partial z}{ \partial x}(x+\mathrm{d} x,t)xz(x+dx,t) selon xxx, on a : zx(x+dx,t)=zx(x,t)+2zx2(x,t)dx\frac{\partial z}{ \partial x}(x+\mathrm{d} x,t) = \frac{\partial z}{ \partial x}(x,t) + \frac{\partial^2 z}{\partial x^2 }(x,t) \cdot \mathrm{d}xxz(x+dx,t)=xz(x,t)+x22z(x,t)dx

En remplaçant dans l’équation (2), on obtient : μdl2zt2(x,t)=T2zx2(x,t)dx\mu \cdot \mathrm{d}l \cdot \frac{\partial^2 z}{\partial t^2 }(x,t) = T \cdot \frac{\partial^2 z}{\partial x^2 }(x,t) \cdot \mathrm{d}xμdlt22z(x,t)=Tx22z(x,t)dx

Dans l’approximation des petits angles, on peut assimiler dl\mathrm{d}ldl à dx\mathrm{d}xdx, ce qui mène, en divisant par dx\mathrm{d}xdx de chaque côté à :

μ2zt2(x,t)=T2zx2(x,t)\mu \cdot \frac{\partial^2 z}{\partial t^2 }(x,t) = T \cdot \frac{\partial^2 z}{\partial x^2 }(x,t)μt22z(x,t)=Tx22z(x,t)

On peut enfin adopter une forme plus normalisée et écrire notre équation finale :

2zt2(x,t)=c22zx2(x,t)             (3)\frac{\partial^2 z}{\partial t^2 }(x,t) = c^2 \cdot \frac{\partial^2 z}{\partial x^2 }(x,t) ~~~~~~~~~~~~~(3)t22z(x,t)=c2x22z(x,t)             (3)

c=Tμc = \sqrt{\frac{T}{\mu}}c=μT.

La constante ccc a la dimension d’une vitesse. Il s’agit en fait de la vitesse de propagation des ondes sur la corde, comme nous le montrerons tout à l’heure.

Notre équation finale est une équation aux dérivées partielles appelée équation de d’Alembert unidimensionnelle, et il s’agit de la plus simple des équations qui permettent de mettre en évidence des comportements ondulatoires.

Cette grosse équation s’accompagne de deux petites équations traduisant l’immobilité des extrémités, qu’on appelle conditions aux limites.

z(0,t)=0z(0,t) = 0z(0,t)=0 z(L,t)=0z(L,t) = 0z(L,t)=0

Notre corde va vibrer !

Résolution dans le cas général

Forme de la solution

Il peut être montré que toutes les solutions de l’équation de d’Alembert peuvent s’écrire sous la forme suivante :

zs(x,t)=12s(xct)+12s(x+ct)z_s(x,t) = \frac{1}{2} s(x - c \cdot t) + \frac{1}{2} s(x + c \cdot t)zs(x,t)=21s(xct)+21s(x+ct)

sss est une fonction d’une seule variable dérivable deux fois.

Il est assez facile de vérifier que les fonctions de cette forme sont bien solutions.

Calculons le premier membre de l’équation de d’Alembert. Nous notons ss''s la dérivée seconde de sss. 2zst2(x,t)=212s(xct)t2+212s(x+ct)t2=c2(12s(xct)+12s(x+ct))\frac{\partial^2 z_s}{\partial t^2}(x,t) = \frac{\partial^2 \frac{1}{2} s(x-c\cdot t)}{\partial t^2} + \frac{\partial^2 \frac{1}{2} s(x+c\cdot t)}{\partial t^2} = c^2 \cdot \left( \frac{1}{2} s''(x-c \cdot t) + \frac{1}{2} s''(x+c \cdot t)\right)t22zs(x,t)=t2221s(xct)+t2221s(x+ct)=c2(21s(xct)+21s(x+ct))

Ainsi que le deuxième membre : c22zsx2(x,t)=c2(212s(xct)x2+212s(x+ct)x2)=c2(12s(xct)+12s(x+ct))c^2 \frac{\partial^2 z_s}{\partial x^2}(x,t) = c^2 \cdot \left( \frac{\partial^2 \frac{1}{2} s(x-c\cdot t)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \frac{1}{2} s(x+c\cdot t)}{\partial x^2} \right) = c^2 \cdot \left( \frac{1}{2} s''(x-c \cdot t) + \frac{1}{2} s''(x+c \cdot t) \right)c2x22zs(x,t)=c2(x2221s(xct)+x2221s(x+ct))=c2(21s(xct)+21s(x+ct))

On en déduit que : 2zst2=c22zsx2\frac{\partial ^2 z_s}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 z_s}{\partial x^2}t22zs=c2x22zs

Ainsi, l’équation de d’Alembert est vérifiée et donc zsz_szs est solution.

zs(x,t)z_s(x,t)zs(x,t) présente la contrainte supplémentaire de devoir respecter les conditions aux limites :

zs(0,t)=0z_s(0,t) = 0zs(0,t)=0 zs(L,t)=0z_s(L,t) = 0zs(L,t)=0

Ceci impose donc en plus à la fonction sss d’être impaire :

x,s(x)=s(x)\forall x, s(-x) = -s(x)x,s(x)=s(x)

et d’être 2L-périodique, ce qu’on déduit de la deuxième condition aux limites et de la parité :

x,s(x)=s(x+2L)\forall x, s(x) = s(x+2L)x,s(x)=s(x+2L)

La démonstration est cachée dans la balise ci-dessous.

De la première condition, on déduit, grâce à l’expression de zsz_szs : t,12s(ct)+12s(ct)=0\forall t, \frac{1}{2} s(-c\cdot t) + \frac{1}{2}s(c\cdot t) = 0t,21s(ct)+21s(ct)=0 Ceci est équivalent à t,s(ct)=s(ct)\forall t, s(-ct) = -s(ct)t,s(ct)=s(ct) On en déduit par changement de variable (x=ctx=ctx=ct) : x,s(x)=s(x)\forall x, s(-x) = -s(x)x,s(x)=s(x) sss est donc impaire.

De la deuxième condition, on déduit : t,12s(Lct)+12s(L+ct)=0\forall t, \frac{1}{2} s(L-c\cdot t) + \frac{1}{2}s(L+c\cdot t) = 0t,21s(Lct)+21s(L+ct)=0 Par réarrangement et changement de variable (x=ctx=ctx=ct), cela conduit à : x,s(Lx)=s(L+x)\forall x, s(L-x) = -s(L+x)x,s(Lx)=s(L+x) Par imparité, on déduit que : x,s(xL)=s(L+x)\forall x, s(x-L) = s(L+x)x,s(xL)=s(L+x) En changeant une dernière fois de variable (x=xLx' = x-Lx=xL), on obtient enfin : x,s(x)=s(x+2L)\forall x', s(x') = s(x' + 2L)x,s(x)=s(x+2L) sss est donc 2L-périodique.

Interprétation de sss comme position initiale

La fonction sss correspond en vérité à la position initiale de la corde. En effet, à l’instant initial t=0t=0t=0, la solution zsz_szs s’écrit de la manière suivante :

zs(x,t=0)=12s(x)+12s(x)=s(x)z_s(x,t=0) = \frac{1}{2} s(x) + \frac{1}{2} s(x) = s(x)zs(x,t=0)=21s(x)+21s(x)=s(x)

Autrement dit, il suffit de connaître la position initiale de la corde pour avoir une solution de l’équation ! La position initiale est décidée par le guitariste, lorsqu’il joue la corde. Cela signifie que le choix de la position initiale va influencer également le son, en plus de la tension, masse linéique et longueur.

Interprétation de ccc comme vitesse de propagation

La solution générale est constituée de deux termes.

  • Le premier z+(x,t)=12s(xct)z_+(x,t) = \frac{1}{2} s(x-c \cdot t)z+(x,t)=21s(xct) correspond à une perturbation qui avance vers les xxx croissants, qu’on qualifie par conséquent d’onde progressive,
  • Le deuxième z(x,t)=12s(x+ct)z_-(x,t) = \frac{1}{2} s(x+c \cdot t)z(x,t)=21s(x+ct) correspond à une perturbation se propageant vers les xxx décroissants et est qualifié d’onde régressive.

Voyons pourquoi.

Si on considère seulement la perturbation correspondant au premier terme, un point de la corde x1x_1x1 à l’instant t1t_1t1 aura pour hauteur :

Z=z+(x1,t1)=12s(x1ct1)Z = z_+(x_1,t_1) = \frac{1}{2} s(x_1 - c \cdot t_1)Z=z+(x1,t1)=21s(x1ct1)

Après avoir attendu un temps Δt\Delta tΔt, est-ce qu’il existe une position x1+Δxx_1 + \Delta xx1+Δx où se trouverait la perturbation de hauteur ZZZ ? On peut répondre à cette question en résolvant l’équation pour Δx\Delta xΔx :

(x1+Δx)c(t1+Δt)=Z=x1ct1(x_1 + \Delta x) - c\cdot ( t_1 + \Delta t) = Z = x_1 - c \cdot t_1(x1+Δx)c(t1+Δt)=Z=x1ct1

Assez facilement, on trouve pour solution :

Δx=cΔt\Delta x = c \cdot \Delta tΔx=cΔt

Cela signifie qu’après un temps Δt\Delta tΔt, la perturbation se retrouve à une distance Δx=cΔt\Delta x = c \Delta tΔx=cΔt de la position initiale. Ainsi, ccc correspond à la vitesse de propagation de la perturbation sur la corde ; vous pouvez vérifier d’ailleurs que la dimension est bien celle d’une vitesse. Comme ccc est positive, la perturbation z+z_+z+ avance vers les xxx positifs, et c’est pour ça qu’on parle d’onde progressive.

Propagation d'une perturbation le long de la corde.
Propagation d'une perturbation le long de la corde.

En faisant un calcul similaire pour le terme zz_-z, on trouve que la vitesse de propagation de cette perturbation est c-cc et il s’agit donc d’une perturbation qui avance vers les xxx décroissants, on parle ainsi d’onde régressive.

On voit alors que si la corde est plus tendue, TTT augmente et donc la vitesse de propagation ccc également, car c=Tμc = \sqrt\frac{T}{\mu}c=μT. De même si la masse linéique μ\muμ est plus petite, alors la vitesse de propagation ccc augmente également.

Solutions particulières et caractéristiques du son

La résolution dans le cas général nous a donné des contraintes sur la position initiale et une interprétation de ccc comme vitesse de propagation, mais ne nous a pas beaucoup éclairé sur les caractéristiques du son en termes de fréquence.

Solutions harmoniques

Pour en apprendre plus sur le modèle, nous allons résoudre l’équation pour un type particulier de positions initiales : les sinusoïdales. Cette famille de solution correspond au cas particulier des fonctions de la forme : sA,λ(x)=Asin(2πλx)s_{A,\lambda}(x) = A \cdot\sin\left(\frac{2\pi}{\lambda}x\right)sA,λ(x)=Asin(λ2πx)

Cette fonction correspond à une forme initiale en forme de sinus, dont les sommets sont à une hauteur AAA et deux sommets consécutifs séparés d’une distance λ\lambdaλ. On appelle λ\lambdaλ la longueur d’onde.

Forme sinusoïdale d'amplitude A et de longueur d'onde $\lambda$.
Forme sinusoïdale d'amplitude A et de longueur d'onde $\lambda$.

Il s’agit donc de solutions de la forme :

zA,λ(x,t)=A2sin(2πλ(xct))+A2sin(2πλ(x+ct))z_{A, \lambda}(x,t) = \frac{A}{2} \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{\lambda} (x-ct)\right) + \frac{A}{2} \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{\lambda} (x + ct) \right)zA,λ(x,t)=2Asin(λ2π(xct))+2Asin(λ2π(x+ct))

AAA est un réel quelconque et λ\lambdaλ est contraint par les conditions limites.

On peut remarquer qu’on a toujours la forme générale, appliquée à la fonction sA,λs_{A, \lambda}sA,λ.

Pourquoi cherche-t-on les solutions harmoniques, c’est-à-dire sinusoïdales ?

Quand on s’intéresse à des phénomènes périodiques (vibrations, ondulations, ondes sonores, …), il est très courant de chercher des solutions harmoniques.

Chercher de telles solutions est courant, parce que dans le cadre de certains outils mathématiques, comme le développement en série de Fourier, les sinusoïdes peuvent être interprétées comme des briques élémentaires des signaux périodiques plus complexes.

Onde stationnaire

L’expression actuelle n’est pas très pratique à utiliser, mais il existe une simplification avantageuse en utilisant l’identité trigonométrique suivante :

sina+sinb=2cosab2sina+b2\sin a + \sin b = 2 \cos \frac{a - b}{2} \sin\frac{a + b}{2}sina+sinb=2cos2absin2a+b

Grâce à celle-ci, on peut transformer la solution comme suit :

zA,λ(x,t)=Acos(2πcλt)sin(2πλx)z_{A, \lambda}(x,t) = A \cos\left( \frac{2\pi c}{\lambda} t \right) \sin \left( \frac{2\pi}{\lambda} x \right)zA,λ(x,t)=Acos(λ2πct)sin(λ2πx)

Cette forme est très intéressante, car on peut remarquer les choses suivantes :

  • Il n’y a plus de couplage entre le temps et l’espace. On peut en effet voir cette onde comme une sinusoïde dont l’amplitude varie avec le temps, mais sans que les creux et bosses ne changent de place. On parle d’onde stationnaire : il s’agit d’une onde car elle est formée par la combinaison de deux ondes qui se propagent en sens inverses, et elle est stationnaire car la combinaison des deux ondes est telle qu’il n’y a pas de phénomène de propagation global.
  • La longueur d’onde et la vitesse de propagation sont liées à la fréquence. En effet, le cosinus correspond à une oscillation de fréquence fff telle que 2πf=2πcλ2\pi f = \frac{2\pi c}{\lambda}2πf=λ2πc. On en déduit que c=λfc = \lambda fc=λf, c’est-à-dire que la vitesse, la fréquence et la longueur d’onde sont liées.
Animation d’une onde stationnaire et des ondes progressives et régressives sous-jacentes ([LucasVP](https://en.wikipedia.org/wiki/User:LucasVB), domaine public).
Animation d’une onde stationnaire et des ondes progressives et régressives sous-jacentes ([LucasVP](https://en.wikipedia.org/wiki/User:LucasVB), domaine public).

Conditions aux limites

Au début de cette section j’avais dit que λ\lambdaλ était a priori quelconque. Notre équation de d’Alembert s’accompagne cependant de conditions aux limites, qui vont imposer des contraintes sur λ\lambdaλ.

L’immobilité à gauche de la corde se traduit par :

z(0,t)=00=0z(0,t) = 0 \Leftrightarrow 0 = 0z(0,t)=00=0

Cette équation est toujours vérifiée, car les sinusoïdes sont impaires, et elle n’impose donc pas de contraintes particulières.

Voyons voir si l’immobilité à droite nous apporte plus d’information :

z(L,t)=0Acos(2πcλt)sin(2πλL)=0z(L,t) = 0 \Leftrightarrow A \cos\left( \frac{2\pi c}{\lambda} t \right) \sin \left( \frac{2\pi}{\lambda} L \right) = 0z(L,t)=0Acos(λ2πct)sin(λ2πL)=0

Pour vérifier cette équation pour tout ttt, il faut donc :

sin(2πλL)=02πλL=kπ, kZ\sin \left( \frac{2\pi}{\lambda} L \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{2\pi}{\lambda} L = k \pi,~ k \in \mathbb{Z}sin(λ2πL)=0λ2πL=kπ, kZ

On peut restreindre le paramètre kkk à l’ensemble des entiers naturels non-nuls car :

  • LLL est positive et que la longueur d’onde λ\lambdaλ est par définition positive, donc kkk est un entier naturel,
  • le cas particulier k=0k = 0k=0 peut-être éliminé, car il correspond à une longueur d’onde infinie, c’est-à-dire une corde totalement plate.

En fin de compte, on a toute une famille de λk\lambda_kλk vérifiant :

λk=2Lk\lambda_k = \frac{2L}{k}λk=k2L

On peut utiliser le fait que c=λkfkc = \lambda_k f_kc=λkfk pour exprimer cette contrainte sur la fréquence plutôt que sur la longueur d’onde :

fk=k2Lcf_k = \frac{k}{2L} cfk=2Lkc

En remplaçant la vitesse de propagation par son expression, on obtient la très intéressante relation :

fk=k2LTμf_k = \frac{k}{2L} \sqrt\frac{T}{\mu}fk=2LkμT

Cette expression nous renseigne de plein de manières.

  • À kkk fixé, on retrouve le comportement phénoménologique de la guitare !

    • Pour une masse linéique et une longueur donnée, la fréquence augmente avec la tension de la corde. On a une relation de la forme fk=constanteTf_k = constante \sqrt{T}fk=constanteT.
    • Pour une tension et une longueur donnée, la fréquence diminue avec l’augmentation de la masse linéique. On a une relation de la forme fk=constanteμf_k = \frac{constante}{\sqrt{\mu}}fk=μconstante.
    • Pour une tension et une masse linéique donnée, la fréquence est inversement proportionnelle à la longueur de la corde. On a une relation de la forme fk=constanteLf_k = \frac{constante}{L}fk=Lconstante.
  • À longueur, masse linéique et tension constante, l’ensemble des fréquences possible est indexé par kkk. Autrement dit, il n’est pas possible d’avoir toutes les fréquences imaginables, mais seulement un sous-ensemble de fréquences précises, une par valeur de kkk.

Décomposition d’une solution quelconque en solutions harmoniques

Toute solution va pouvoir être décomposée comme une somme de solutions particulières harmoniques. Cela signifie que, sous certaines conditions en général remplies en physique, il est possible de considérer la déformation de la corde comme une superposition de petites déformations sinusoïdales, et ce quelle que soit la position de la corde. Physiquement, cela signifie que l’on va déterminer l’intensité de chaque fréquence fkf_kfk dans le son produit par une corde de guitare, et donc pouvoir connaître le spectre du son, uniquement à partir de la position initiale de la corde !

Ce petit tour de passe-passe mathématique est permis grâce aux séries de Fourier, qui permettent de décomposer un signal périodique (la déformation initiale de la corde) en une somme, éventuellement infinie, de sinusoïdes.

Sans s’étendre excessivement sur cet outil mathématique, il est possible de l’utiliser dans notre cas comme suit. Si sss est une fonction 2L périodique et impaire, alors il existe des coefficients bk(s)b_k(s)bk(s) tels que :

x,s(x)=k=0bk(s)sin(kπLx)\forall x, s(x) = \sum_{k=0}^\infty b_k(s) \cdot \sin ( \frac{k\pi}{L} x)x,s(x)=k=0bk(s)sin(Lkπx)

Les bk(s)b_k(s)bk(s) sont calculés comme suit :

k,bk(s)=1LLLs(x)sin(kxπL)dx\forall k, b_k(s) = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} s(x) \sin\left(kx\frac{\pi}{L}\right)\,\mathrm{d}xk,bk(s)=L1LLs(x)sin(kxLπ)dx

On peut également utiliser le fait que kL=2λk\frac{k}{L} = \frac{2}{\lambda_k}Lk=λk2 pour écrire :

x,s(x)=k=0bk(s)sin(2πλkx)\forall x, s(x) = \sum_{k=0}^\infty b_k(s) \cdot \sin ( \frac{2\pi}{\lambda_k} x)x,s(x)=k=0bk(s)sin(λk2πx)

La solution correspondant à la position initiale s(x)s(x)s(x) est alors :

z(x,t)=k=0bk(s)cos(2πfkt)sin(2πλkx)z(x,t) = \sum_{k=0}^\infty b_k(s) \cos\left(2\pi f_k t\right) \sin\left(\frac{2\pi}{\lambda_k} x\right)z(x,t)=k=0bk(s)cos(2πfkt)sin(λk2πx)

On voit que l’on a bien une somme d’ondes stationnaires ayant pour fréquences fkf_kfk. La valeur de chaque bkb_kbk correspond à l’intensité de chaque fréquence et donc au spectre du son émis par la corde.


  1. Sur une corde non souple, on sent l’influence des différentes directions assez facilement. Prenez le premier câble électrique qui vous passe sous la main et tordez-le à angle droit. Cela est assez facile normalement. Maintenant, maintenez votre angle droit et tentez de tourner d’un quart de tour une des branches de l’angle : vous devez sentir qu’il est plus difficile de tourner désormais. Les mouvements selon les différentes directions ne sont pas indépendants.

Confrontation entre théorie et réalité

Nous avons vu un grand nombre de formules, un peu rébarbatives pour certaines et informatives pour d’autres. Nous savons déjà que les phénomènes concernant la tension, la masse linéique et la longueur sont vérifiés.

Dans cette partie, nous nous attaquons au spectre, et tenterons de voir si la décomposition en solutions élémentaires se retrouve dans l’expérience !

Pour cela, nous allons étudier une corde qu’on joue au niveau du corps de l’instrument. La corde adopte dans ce cas une forme de triangle dont le sommet est sur le côté. La longueur et la hauteur de corde correspondent grossièrement à un cas où l’on joue la corde la plus fine de manière « normale ». La corde présente alors l’allure ci-dessous.

Forme approximative de la corde.
Forme approximative de la corde.

En faisant la décomposition de Fourier, on trouve les coefficients ci-dessous, pour les premières harmoniques.

k fkf_kfk bkb_kbk (mm)
1 f1f_1f1 7.5042
2 2f1f_1f1 2.9335
3 3f1f_1f1 1.2049
4 4f1f_1f1 0.3264
5 5f1f_1f1 -0.1071

On remarque que les premières harmoniques sont les plus fortes, et que les contributions à partir de la quatrième harmonique sont très faibles. Les coefficients diminuent en effet assez rapidement avec l’augmentation de kkk. Le troisième terme vaut environ un sixième du premier et le quatrième un vingt-cinquième du premier.

On peut voir que les termes élevés comptent peu en utilisant seulement les premiers termes de la série de Fourier pour reconstruire une approximation de la forme de la corde. On trouve la courbe ci-dessous.

Reconstruction avec les cinq premiers termes.
Reconstruction avec les cinq premiers termes.

Vérifions si notre modèle physique prédit le spectre correctement. J’ai fait un enregistrement avec ma basse comme dans la première partie, mais cette fois-ci, en prenant soit de jouer la corde à 15 cm du chevalet et je trace le spectre du son ainsi produit, c’est-à-dire l’intensité des différentes fréquences qu’il contient.

Spectre du son de la corde la plus aigüe jouée à 15 cm du chevalet.
Spectre du son de la corde la plus aigüe jouée à 15 cm du chevalet.

On remarque que la première fréquence est d’environ 100 Hz, ce qui correspond à la fréquence fondamentale. On retrouve ensuite toutes les harmoniques (environ 200 Hz, 300 Hz, etc.), jusqu’à des fréquences élevées.

Contrairement au calcul théorique, la fréquence fondamentale n’est pas la plus forte. Ce n’est pas tellement surprenant, car le son enregistré au micro n’est pas simplement dépendant de la vibration de la corde, mais aussi du corps de la basse, du préamplificateur, de l’amplificateur, et surtout du microphone. Étant donné que mon micro est de basse qualité et dédié à la voix, il semble normal qu’il ait des difficultés avec les basses fréquences.

On retrouve cependant le comportement théorique sur les autres harmoniques, dont l’amplitude décroît rapidement, mais qui sont présentes jusqu’à des ordres élevés. On peut en effet voir des pics pour les harmoniques d’ordre 10 voir même 20 avec de bons yeux.


Le modèle de la corde vibrante est un modèle simple. Il s’agit en effet de décrire comment les vibrations se propagent sur une corde attachée à ses extrémités. En prime, il s’agit d’un modèle à une seule dimension ; on ne prend pas en compte le fait que la corde est en réalité un volume et non pas un fil infiniment fin.

Ce modèle présente bien sûr des limites, liées à la manière dont les vibrations sont amplifiées pour parvenir à nos oreilles. Mais, il permet de décrire assez bien le comportement expérimental des cordes de guitare. On voit l’influence de la tension, de la masse linéique, de la longueur très facilement. Au-delà même de ça, il est aussi possible de prévoir la répartition des différentes fréquences dans le son produit, et cela en fonction de la position à laquelle on joue la corde si on le souhaite !

L’extension du problème de la corde vibrante à une membrane vibrante est possible, et on obtient alors une équation similaire, mais avec deux variables spatiales, pour représenter toute la surface de la membrane. Mathématiquement, on peut ainsi étudier des tambours de n’importe quelle forme (circulaire, carrée, etc), ce qui offre une grande richesse par rapport aux simples cordes vibrantes. Cette richesse a amené certains mathématiciens à se demander s’il était possible d'entendre la forme d’un tambour (vidéo en anglais)

Miniature de l’article : basse Stagg photographiée par Elmschrat, sous licence CC-BY-SA 4.0 (source).

Merci à Holosmos pour la validation et les suggestions mathématiques.

4 commentaires

C’était un vrai plaisir de validation ! J’espère sincèrement qu’on aura de nouveaux contenus du genre :-)

C’est un tutoriel de physique, donc il a été central de s’intéresser à la détermination précise du problème physique, aux conditions de modélisation et aux limites du travail présenté. En ces sens, Aabu a parfaitement rempli le pari.

Les maths présentées sont également solides. Elles conviennent au but fixé et il n’y a pas d’erreur de fond (même si la forme peut parfois laisser perplexe le nouveau venu).

C’est très agréable à lire. On sait où tu veux aller, on comprend ce qui est présenté, que vouloir de plus ?

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Très beau travail, très élégant. Je cherchais justement à connaitre les amplitudes du mouvement d’une corde de guitare en un point afin de concevoir un nouveau type de microphone et votre approche de TF spatiale pour en déduire les composantes fréquentielles de la corde est très adaptée.

Merci!

Z.

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