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Géométrie des équations du second degré

Essayons de comprendre géométriquement les équations du second degré

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Temps de lecture estimé : 27 minutes

Les équations du second degré, ce sont des équations de la forme $ax^2+bx+c=0$ (avec $a\neq 0$). C’est un incontournable des études secondaires. L’idée de ce tutoriel n’est pas de vous faire découvrir le sujet, mais plutôt de donner une interprétation géométrique différente de ce qui se fait habituellement.

La première partie de ce tutoriel permet d’introduire naturellement des équations du second degré, qui exprimeront l’intersection d’un cercle avec une droite. On fera discuter géométrie et algèbre pour établir les équations qui nous intéressent, et puis on les résoudra.

La seconde partie reviendra au cas général des équations du second degré. Le but sera de les résoudre en toute généralité mais aussi de donner une interprétation correspondant au cas géométrique de la première partie.

Les pré-requis de ce tutoriel sont très faibles.

Géométrie du cercle

  1. Introduction : un cercle et une droite
  2. Équation d'un cercle et résolution

Équations du second degré

  1. Forme canonique et résolution
  2. Retour à la géométrie
  3. Résolution


Quelques conseils de lecture :

  • le tutoriel de Micmaths sur les équations qui aborde ce sujet avec la vision classique ;
  • le tutoriel de Looping sur les nombres, notamment complexes, pour aller vers une généralisation du cas réel.

7 commentaires

J’aime bien. :) C’est à mon sens la meilleure manière de comprendre les équations du second degré, bien meilleure que celle que l’on voit au lycée (en France). En fait, de manière générale, je suis assez convaincu que tout problème d’algèbre raisonnable doit pouvoir s’interpréter comme un problème de géométrie naturel.

Comme toujours, c’est du bon boulot.

Ce qui m’a convaincu que cette idée pourrait être intéressante, c’est que la géométrie telle qu’on la pratique aujourd’hui cherche à comprendre les zéros d’un polynômes comme étant un objet géométrique et pas juste l’annulation d’une fonction.

Ce qui est très frustrant dans l’approche classique au secondaire, c’est qu’on associe au polynôme $ax^2+bx+c$ la fonction polynômiale $x\mapsto ax^2+bx+c$. Et puis on dit que les zéros de cette fonction sont les points d’intersection entre la courbe de cette fonction (qui est alors une parabole) et la droite des abscisse. Mais cette tautologie empêche en fait même de comprendre la géométrie du problème.

Ce qui est intéressant géométriquement dans les polynômes du second degré, c’est qu’ils disent quelque chose sur les coniques. Et ce sont les coniques que j’ai voulu réintroduire en insérant le problème du cercle.

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Ce qui est intéressant géométriquement dans les polynômes du second degré, c’est qu’ils disent quelque chose sur les coniques. Et ce sont les coniques que j’ai voulu réintroduire en insérant le problème du cercle.

Holosmos

En effet. D’ailleurs, ça pourrait être une suite intéressante de regarder ce qui se passe géométriquement et algébriquement lorsque l’on fait subir au couple cercle - droite une transformation linéaire (ou affine). Ça permettrait d’aller plus loin tout en restant à un niveau assez élémentaire en termes de prérequis. Pour aller encore plus loin, on pourrait passer dans le plan complexe et regarder ce qui se passe avec les transformations holomorphes ou homographiques.

Mais évidemment, ces suggestions seraient pertinentes si nous avions tous du temps illimité pour écrire sur des sujets cools. :-°

LS

Merci pour ce tutoriel, je préfère les preuves algébriques en général mais je trouve toujours que la démonstration géométrique apporte de la cohésion à la preuve et aux maths en général.

« La Nature est un livre écrit en langage mathématique », Galilée

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Merci pour ce tutoriel. Je l’ai utilisé pour un petit travail mathématique qui fait intervenir des intersections de droites inclinées avec un cercle (bientôt publié dans un billet sur ZdS). Cette approche m’a permis de me rendre compte de la simplicité du problème.

« LaTeX is to a book what a set of blueprints is to a building » (Paul Dulaney) | Mon planétaire

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Merci pour ce tutoriel, je préfère les preuves algébriques en général mais je trouve toujours que la démonstration géométrique apporte de la cohésion à la preuve et aux maths en général.

LudoBike

Mais c’est une preuve algébrique, c’est juste que derrière toute équation se cache un pan de la géométrie analytique et c’est précisément ce que Holosmos tente d’inculquer au lecteur.

Édité par Ozmox

00.23.48.12

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