La saga des nombres - Au-delà du réel

Qu’est-ce qu’un nombre ?
Drôle de question me direz-vous… tout le monde sait ce qu’est un nombre.

D’accord, mais ça ne répond pas à ma question. En fait, il est assez difficile de donner une définition précise au mot nombre.
Réfléchissons un peu :

• nous connaissons les nombres entiers, qui nous servent à compter sur nos doigts : $0$, $1$, $2$…
• avec ces nombres, nous avons pu faire des additions et des soustractions. Mais certaines soustractions se sont révélées impossibles, comme $2 - 3$ par exemple.
• nous avons alors inventé les nombres négatifs : $-1$, $-2$…
• avec ces nombres, nous avons aussi fait des multiplications et des divisions. Mais certaines divisions se sont révélées impossibles, comme $2 \div 3$ par exemple.
• nous avons alors inventé les nombres rationnels : $0,5$, $1,234$, $2/3$… Ce sont des nombres qui s’écrivent avec un nombre fini de chiffres après la virgule, comme $0,23$, ou avec une infinité de chiffres mais qui se répètent, comme $0,333...$ ou $1, 148148148...$. Tous ces nombres peuvent s’écrire sous forme de fraction.
• puis nous avons inventé deux autres opérations : les puissances et les racines. Mais certaines racines, comme $\sqrt2$, se sont révélées ne pas être des nombres rationnels (impossibles à écrire sous forme de fraction).
• nous avons alors inventé les nombres irrationnels : $\sqrt 2$, $\pi$, $e$…

Voilà donc tous les nombres que vous connaissez. Ces nombres constituent ce qu’on appelle les nombres réels.

Alors, que fait-on quand une opération est impossible ? On invente un autre type de nombre, pardi !
Impossible, dites-vous ? C’est ce que nous allons voir. Bienvenue au pays des nombres imaginaires… et même au-delà…

Nous allons donc entrer dans un monde assez étrange : celui des nombres complexes et hypercomplexes. Que ces mots ne vous fassent pas fuir, complexe n’a pas le sens de difficile ici. Il a plutôt le sens de composé. En effet, vous allez voir que ce sont des nombres composés de plusieurs parties.
Il s’agit cependant d’un monde assez abstrait, qui va bouleverser la notion de nombres que vous connaissez. En effet vous allez rencontrer des nombres qui ne servent pas à compter ou à mesurer, comme vous en aviez l’habitude.

Mais alors, à quoi servent-ils me direz-vous… Nous allons le découvrir un peu au cours de ce tuto, mais sachez par exemple que les nombres complexes sont très utilisés en physique (traitement du signal, automatique,…), et les nombres hypercomplexes sont utilisés dans les moteurs de jeux vidéos et dans l’animation 3D.

Le but de ce tuto n’est pas de faire de vous des experts dans ces domaines évidemment. Plus modestement, il s’agit d’une introduction à ces notions, qui j’espère vous permettra d’aborder de manière sereine des cours de plus haut niveau.
Ce tutoriel est assez axé sur l’histoire des mathématiques, pour montrer comment ces notions ont émergé dans la tête des mathématiciens, ce qui j’espère vous permettra d’en avoir une vision plus intuitive. De ce fait, il peut constituer un bon complément à un cours plus classique sur le sujet.

Des mathématiciens pleins d'imagination

1. Où sont-ils ?

   1. Une torture mentale

   2. Cachez ces nombres que je ne saurais voir

   3. Sortons du cadre...

   4. Complexifions tout ça...

2. Additionnons, multiplions...

   1. Additionnons

   2. Multiplions

   3. Les réels, des complexes comme les autres ?

3. Le sacre des complexes

   1. La forme trigonométrique

   2. La forme exponentielle

   3. Le défilé des formules

Au-delà de l'imaginaire

1. Le dernier des nombres ?

   1. Les racines de l'unité

   2. Le théorème fondamental de l'algèbre

2. Ajoutons une dimension

   1. Can you multiply triples ?

   2. On a perdu la commutativité !

3. Voyage dans la quatrième dimension

   1. Pourquoi quatre ?

   2. La postérité des quaternions

   3. Et après ?

La suite du voyage...

1. Réflexions mathématiques

   1. Qu'est-ce qu'un nombre ?

   2. La beauté des mathématiques

   3. Le début d'un long voyage

2. Annexe

   1. Troisième degré

   2. Des racines imaginaires

J’espère que vous aurez eu autant de plaisir à lire ce tutoriel que moi à l’écrire. Mais comme je vous l’ai dit, ce n’est que le début de votre grand voyage dans le pays des mathématiques.

Pour approfondir ce sujet, voici les livres qui m’ont servi pour l’écriture de ce tutoriel. Je ne peux que vous conseiller de vous les procurer.

• Unknown quantity, A real and imaginary history of algebra, John Derbyshire
  L’algèbre est née le jour où un mathématicien est passé de « combien valent trois plus sept » à « trois plus combien valent sept », et n’a cessé de se développer depuis. Des premières équations à la topologie algébrique, en passant par les matrices, la théorie des groupes, les quaternions ou les espaces vectoriels, voici contée la formidable saga de l’algèbre…

• Elementary mathematics from an advanced standpoint : arithmetic, algebra, analysis, Felix Klein
  Écrit par un célèbre mathématicien du début du XXè siècle, ce livre aborde plusieurs notions mathématiques (dont les nombres complexes et hypercomplexes) avec une approche assez originale.

• An imaginary tale : the story of $\sqrt{-1}$, Paul Nahin
  Hamilton écrivit un jour à De Morgan : « Il faudrait qu’un jour toi ou moi - mais j’espère que ce sera toi - écrive une histoire de $\sqrt{-1}$ ». « Ce ne sera pas une mince affaire » répondra ce dernier. Aucun d’eux ne l’écrira au final, ni personne après eux d’ailleurs. Ce livre comble ce manque : de la résolution d’équations à l’analyse complexe, voici la fabuleuse histoire de $i$.

• Mathematics and its history, John Stillwell
  Théorie des nombres, calcul différentiel, théorie des groupes, géométrie différentielle, nombres hypercomplexes… L’histoire des grands domaines des mathématiques est racontée ici avec brio, sans avoir peur de rentrer dans les détails techniques.