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a marqué ce sujet comme résolu.

L’homotopie ? De façon classique ?

Je peux l’expliquer assez rapidement, c’est pas bien difficile à définir.


L’idée générale en topologie (algébrique) c’est de pouvoir différencier deux espaces topologiques différents, c’est-à-dire non homéomorphes.

Tout comme en géométrie, le tournant à été lorsqu’on a considéré des fonctions sur les espaces plutôt que les espaces eux-mêmes.

Une homotopie, entre deux fonctions continues $f,g : X\to Y$, c’est l’existence d’une fonction $H:[0,1]\times X\to Y$ continue et telle que $H(0,\cdot) = f$ et $H(1,\cdot) =g$.

De façon intuitive, cela correspond à déformer $f$ pour obtenir $g$. Par exemple on peut déformer la droite $f(x)=x$ en $g(x)=x^2$.

Mais en topologie, on appelle par abus de langage théorie de l’homotopie les groupes d’homotopies (fondamental et supérieurs) qui sont des cas particuliers et plus restrictifs.

Par exemple, le groupe fondamental consiste à regarder les applications continues $f,g: S^1\to Y$ modulo homotopie à point de base, c’est-à-dire de sorte qu’une homotopie $H$ entre $f$ et $g$ vérifie $t\mapsto H(t,p)$ constant pour un certain $p\in S^1$ choisi.

Géométriquement, cela signifie qu’on s’intéresse à des lacets (ce sont des boucles fermées) basées en un point (c’est-à-dire qu’on a attaché à un piquet dans l’espace $Y$). L’homotopie nous permet de les déformer continûment mais sans détacher le point de base ou casser la boucle.

L’intérêt d’une telle étude, c’est de pouvoir distinguer de nombreux espaces. Par exemple, c’est une méthode très efficace pour montrer que $\mathbf R^2$ et $\mathbf R^3$ ne sont pas homéomorphes (modulo l’introduction de quelques idées supplémentaires).

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La théorie homotopique des types (HOTT) consiste à considérer maintenant les types comme des espaces homotopiques. Les habitants de ces types sont des points. Et un chemin entre deux points $x$ et $y$ est une preuve de $x=y$. Voilà pour l’analogie.

Maintenant cette analogie apporte plus je pense à la théorie des types que l’inverse, du moins d’après mes connaissances actuelles. Il oublie aussi de préciser que le livre dont il parle est gratuit et se trouve ici : HOTT.

Je ne suis pas un grand fan de sa pédagogie car il a été écrit pour des matheux et non des informaticiens si bien que parfois il pêche sur certains détails techniques et je ne suis pas habitué à ce style d’écriture.

L’intérêt donc de HOTT est de donné un nouvel aspect à la théorie des types, notamment en rajoutant l’axiome d’univalence (qui dit moralement que l’équivalence c’est pareil que l’égalité (l’équivalence étant habituellement plus faible que l’égalité)). C’est un sujet très hot en recherche mais honnêtement on ne sait pas à quoi ça va aboutir.

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La dernière vidéo d’e-penser est une catastrophe sur le raisonnement logique. Il n’explique rien et il ne démystifie pas vraiment le problème, c’est bien dommage. En particuliers, quand il démonte l’argument 2, le raisonnement qu’il fait n’est pas forcément correct…

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J’aime bien ce résumé des découvertes : http://www.gurumed.org/2017/02/23/dcouverte-de-7-plantes-de-la-taille-de-la-terre-dans-le-mme-systme/


J’en profite également pour parler de la première attaque en pratique sur la collision de SHA-1, une fonction de hash déjà réputée pas sûre mais encore utilisée. L’attaque a été menée par une équipe hollandaise cojointe à une autre équipe, de Google.

Ils ont ainsi forgé deux fichiers PDF, qui ont le même hash SHA-1.

SHA-1 était déjà dépréciée depuis 2011, mais est encore utilisée dans la pratique : quelques certificats de sécurité SSL (qui permettent le HTTPS), signature GPG/PGP, hash de commits de Git…

Edit: plein d’informations intéressantes dans les commentaires sur Hacker News. Et j’y ai découvert ce joli site qui vous dit comment vous devez réagir à cette annonce.

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Pas une actu, mais j’ai vu passer sur Reddit l’image suivante, que j’ai trouvée très intéressante. Dans cette image, les fraises sont grises, mais on jurerait qu’elles sont rouges :

Les fraises sont-elles rouges ?

Un membre de Reddit en a profité pour en créer une image qui ne contient que des pixels noirs, bleus, et blancs. Et les fraises apparaissent toujours rouges (cliquez sur l’image pour en voir un peu plus) :

test

C’est une chouette démonstration de la complexité de notre vision, notamment comment le cerveau humain interprète en permanence ce qu’il voit (ici pour équilibrer la balance des couleurs). Pour les intéressés, l’article Wikipedia, et le topic Reddit

Définir rouge. Parce que, perso, pour faire du gris j’ai besoin de rouge.

C’est volontairement troll. Mais je comprends pas l’engouement autour d’un truc qu’on connaissait déjà. C’est juste poussé plus loin que d’habitude, parce que le blanc de la photo est beaucoup plus bleu que naturellement, mais fondamentalement on est toujours dans une situation comparable (on a rarement de la lumière vraiment blanche).

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Ah oui, c’est clair que c’est pas nouveau, c’est exactement le même principe que cette illusion, mais c’est la première fois que je vois une telle illusion créer l’illusion d’une couleur qui ne soit pas une teinte de gris. En particulier la seconde image, qui ne contient de "rouge" que dans les pixels blancs, mais qui fait quand même ressortir le rouge.

Mais l’engouement est logique, quand on voit à quel point la robe bleue/noire ou blanche/dorée a soulevé les foules. :D Et puis, même si ce n’est pas nouveau, ça n’empêche pas de profiter du spectacle. :)

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Je connaissais pas. Mais j’ai trouvé cette vidéo excellente sur bien des points.

Les maths sont précises et justes, les animations sont magnifiques et le texte est bon et (je crois, mais faut me confirmer) compréhensible facilement.

edit : sur certaines phrases, il a la même voix que Ghys, c’est un peu étonnant :P

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Banni

Concernant la vidéo de Infinite Series.

What we just used is the first and more important tool in our mathematical proof toolbox : logic.

?? Ok, haha.

Pour l’erreur, si c’est sur la preuve avec le triangle je dirais qu’il manque surtout un gros détail pour rendre le raisonnement correct, mais qu’il n’y a pas vraiment d’« erreur ». La preuve est assez malhonnête, bien que le résultat soit juste.

Pour compléter, on a la version non astucieuse et la version astucieuse. Dans la version non astucieuse, on tire un point uniformément dans un carré 1×1, on conditionne selon quel point est le plus grand (c’est symétrique) et on effectue un changement de variable pour obtenir le triangle équilatéral. On note au passage que quand on prend un point dans un triangle équilatéral, la somme des distances aux trois côtés est constante, c’est les longueurs des trois bâtons. Dans la version astucieuse, on commence par compléter son triangle équilatéral par un symétrique en dessous du bâton. Ça donne un parallélogramme. Tirer deux points uniformément sur le bâton, c’est la même chose que tirer uniformément un point dans le parallélogramme (on tire ses deux coordonnées uniformément, peut-être qu’il faut un dessin pour expliquer). Par symétrie, on se ramène au triangle équilatéral et on a le raisonnement qui s’applique bien. edit D’ailleurs, on pouvait prendre un triangle rectangle au lieu d’équilatéral, ça donnait un carré au lieu d’un parallélogramme… Et puis on voit que ça revient à ce que j’ai appelé la preuve non astucieuse.

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C’est une question qui n’a pas tellement de sens, pour plusieurs raisons. La première, la plus évidente, est que la plupart des résultats en maths admettent plusieurs démonstrations, parfois totalement différentes. En géométrie euclidienne, typiquement, c’est particulièrement frappant : on peut démontrer un même théorème avec de multiples stratégies.

Néanmoins, tu pourras arguer que même si les preuves pour un même résultat peuvent parfois être multiples, il y a toujours un ou deux arguments essentiels qui ressortent dans toutes les démonstrations. C’est vrai en règle générale, mais il y autre chose : certains résultats sont à l’intersection de plusieurs branches des maths. Parfois même, certains théorèmes sont rendus triviaux parce qu’une théorie se développe et fait qu’un certain résultat, auparavant difficile, apparaît comme un cas particulier simple d’un théorème général. L’exemple le plus simple est celui du théorème de Pythagore, que l’on étudie au collège. Il se généralise très bien à n’importe quel espace euclidien (c’est à dire un espace vectoriel réel muni d’un produit scalaire) et même en dimension infinie dans les espaces de Hilbert. En outre, avec la définition abstraite de produit scalaire, la preuve est presque une évidence… alors qu’il existe des démonstrations assez fastidieuses du théorème de Pythagore dans le cas d’un triangle.

Par ailleurs, parfois on développe des théories exprès pour montrer un théorème. C’est par exemple ce qu’a fait Cédric Villani avec ses collègues (qu’il convient de ne pas oublier !) lorsqu’il a travaillé sur l’amortissement de Landau : il a cherché à démontrer un théorème principal, mais cela a nécessité de fonder une théorie complète, laquelle occupe un volume d’environ mille pages. Pour autant, la preuve du résultat central en elle-même n’est pas l’objet du livre, même si c’était l’objectif au départ. Alors faut-il dire que la preuve fait mille pages, ou non ? C’est difficile à décider… mais il est clair que limiter ce travail à l’étude du phénomène de Landau serait réducteur.

Enfin, il y a aussi le cas inverse : des matheux étudient un problème et construisent des théories… puis ils s’aperçoivent après coup qu’ils ont démontré au passage des théorèmes forts qui ne sont plus qu’un cas particulier de leur travail. Le dernier théorème de Fermat est probablement l’exemple récent le plus spectaculaire en la matière : Wiles et ses collègues ont étudié certaines courbes particulières pendant plusieurs années, ont eux aussi développé une grosse théorie qui fait également l’objet d’un ouvrage de mille pages. Et les résultats de la théorie démontraient au passage le théorème de Fermat. Il y a des centaines de pages de travail, et donc il est difficile de déterminer la longueur de la preuve, car on ne sait pas où placer le curseur des prérequis.

En revanche, et je conclus là-dessus, il est vrai que les mathématiciens établissent une hiérarchie de difficulté entre les résultats, et il y a en général relatif consensus lorsqu’il s’agit de comparer la difficulté de deux théorèmes. Ainsi, je dirais que deux théorèmes sont toujours comparables en difficulté… mais qu’il n’est pas possible de les ordonner dans leur ensemble. :D

Modification — Correction de phrases boiteuses.

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