L’homotopie ? De façon classique ?
Je peux l’expliquer assez rapidement, c’est pas bien difficile à définir.
L’idée générale en topologie (algébrique) c’est de pouvoir différencier deux espaces topologiques différents, c’est-à-dire non homéomorphes.
Tout comme en géométrie, le tournant à été lorsqu’on a considéré des fonctions sur les espaces plutôt que les espaces eux-mêmes.
Une homotopie, entre deux fonctions continues $f,g : X\to Y$, c’est l’existence d’une fonction $H:[0,1]\times X\to Y$ continue et telle que $H(0,\cdot) = f$ et $H(1,\cdot) =g$.
De façon intuitive, cela correspond à déformer $f$ pour obtenir $g$. Par exemple on peut déformer la droite $f(x)=x$ en $g(x)=x^2$.
Mais en topologie, on appelle par abus de langage théorie de l’homotopie les groupes d’homotopies (fondamental et supérieurs) qui sont des cas particuliers et plus restrictifs.
Par exemple, le groupe fondamental consiste à regarder les applications continues $f,g: S^1\to Y$ modulo homotopie à point de base, c’est-à-dire de sorte qu’une homotopie $H$ entre $f$ et $g$ vérifie $t\mapsto H(t,p)$ constant pour un certain $p\in S^1$ choisi.
Géométriquement, cela signifie qu’on s’intéresse à des lacets (ce sont des boucles fermées) basées en un point (c’est-à-dire qu’on a attaché à un piquet dans l’espace $Y$). L’homotopie nous permet de les déformer continûment mais sans détacher le point de base ou casser la boucle.
L’intérêt d’une telle étude, c’est de pouvoir distinguer de nombreux espaces. Par exemple, c’est une méthode très efficace pour montrer que $\mathbf R^2$ et $\mathbf R^3$ ne sont pas homéomorphes (modulo l’introduction de quelques idées supplémentaires).
Et puis, même si ce n’est pas nouveau, ça n’empêche pas de profiter du spectacle. 
