Enseigner les Mathématiques

Durant les deux années de prépa Maths que je termine, une bonne partie de mes cours commençaient comme cela :

• Algèbre linéaire : « On appelle espace vectoriel tout triplet… »
• Polynômes : « On apelle polynôme… »
• Séries entières : « On appelle série entière toute série de fonctions… »
• Développements limités : « On dit que $f$ est négligeable devant $g$ lorsque… »

Et l'aspect pédagogique de cet enseignement me rend perplexe. Ca passe avec des étudiants pratiquant régulièrement les Maths et aimant ça, mais je doute que cela plaise aux non-matheux. Effectivement, ces derniers n'ont pas d'intérêt particulier de faire des Maths autre que le fait que ça leur servirait ailleurs. Du coup, je me pose la question : comment enseigner les Maths…

… aux non-matheux ?

Looping citait quelque part quelqu'un en disant qu'on commence vraiment à faire des Maths quand on arrête de se demander à quoi ça sert. Mais allez expliquer ça aux non-matheux. Du coup, je me demande comment procéder, ne serait-ce que pour les notions de base. Comment, par exemple, introduire les fonctions à un collégien, sans l'obliger à s'asseoir sur une chaise et à écouter le professeur sous peine de mauvaises notes ?

En Physique c'est plus simple, vu qu'il est assez simple de se baser sur des phénomènes concrets, des situations attrayantes, des faits curieux… pour introduire des notions abstraites. Mais en Maths ?

… aux matheux ?

C'est probablement dû au cadre de la prépa, mais mes cours forment tous une suite de théorèmes, définitions, propositions… à apprendre, accompagnés d'exercices. Selon vous, cette méthode est-elle concluante ? Comment pourrait-on faire des Maths autrement ? Une approche historique vous semblerait-t-elle plus judicieuse ?

Merci !

Personnellement, j'ai découvert Coq il y a quelques mois.

Ce n'est certes pas destiné à faire des maths, mais il n’empêche que je trouve ça très intéressant d'essayer de formaliser des maths (notamment les trucs que j’apprends en prépa ^^) dedans.

Après, c'est aussi le côté "programmation" qui rend la chose intéressante (pour moi du moins), ainsi que le coté construction (qui part de la base).

Je pense aussi que les cours classiques tuent la créativité (surtout la prépa ><), et c'est (enfin du moins ce que je ressens) un des points les plus importants pour faire un exercice (par exemple).
Et ça c'est très certainement dû à la façons d'enseigner les maths .. :/

Déjà j'aimerai bien que cet article soit lu par le plus de monde. Parce que ça suffit de dire que les maths c'est pas intéressant, que les élèves n'aiment pas ça, que c'est trop dur.

Ensuite l'approche axiomatique pour un cours me paraît finalement très efficace. Personnellement quand j'aborde un nouveau sujet j'ai horreur de devoir lire 20 pages avant d'avoir le droit aux définitions. D'un autre côté, quand on comprend rien de rien c'est plus facile.

Par contre c'est pas l'approche historique, je comprends d'ailleurs mal comment tu fais le lien entre les deux. C'est pourtant assez clair que l'axiomatique proposée dépend aussi des résultats que l'on obtient … Et donc finalement, on passe beaucoup plus de temps à établir les axiomes que l'on passe à les énoncer.

C'est efficace, mais est-ce que ça passe bien ? Semblerait que non. Mais ce que dit l'article en lien, c'est que c'est pas forcément le problème de la méthode employée mais de la manière dont elle est employée. Quand les profs trouvent ça normal d'avoir une part des élèves nuls en maths, c'est scandaleux.

Pour avoir des cours dans des esprits très différents, je pense pas que la méthode soit mauvaise. Pour avoir le droit à un cours de proba particulièrement accompagné d'exemples et de descriptions intuitives (ça doit représenter une bonne moitié), c'est pas le problème vu que les moyennes aux exams sont aussi bonnes mauvaises que pour les autres matières.

Salut ,

Ma formation n'est pas étroitement liée avec les mathématiques, du moins pas à mon niveau (Psychologie), donc ce que je vais dire plus bas est à prendre avec des pincettes.

Malheureusement, il n’y a pas que le fait « d’expliquer à quoi ça sert les maths ». Le plus gros problème, pour moi, reste les lacunes que tu as acquis au fil des années, et qui te rattrapent toujours.

En mathématiques comme en physique, il y a aussi des exemples concrets :

• Vecteurs ( Jeux vidéos)

• Le coeur normalement à un rythme régulier, tu dois pouvoir modéliser ça avec une fonction. Et peut être même détecter des anomalies.

• Géométrie : Architecture, Design, imprimante 3D.

• stat' : Faire passer des tests à un échantillon, calculer, et tirer une tendance. (ex : Est-ce que la lumière bleue des écrans LED réduit le sommeil de ces utilisateurs? Tu utilises ton échantillon et un groupe contrôle. Tu calcules le nombre d'heures de sommeil, fait une moyenne et tu en déduis une tendance.)

• Probabilité : Chance de gagner au loto, poker.

Voilà quelques exemples, le but est d'intéresser l'élève avec des exemples concrets et non pas un exercice avec l'achat de 36 pastèques. Il suffit juste d'être créatif.

Ps : Après, je ne sais pas si on peut faire ça dans le supérieur.

KevinF

@Holosmos :

Quand les profs trouvent ça normal d'avoir une part des élèves nuls en maths, c'est scandaleux.

Je suis d'accord avec toi, c'est scandaleux ! Je n'ai pas le temps d'expliquer ça, mais je te laisse un lien qui pourrait apporter une réponse à cela.

https://docs.google.com/document/d/1oi_G-Kv91YSeKXb3Spabb-vHAO-p86C7DizIc7W_-sg/edit?pli=1

KevinF

Le problème c'est surtout que les politiciens sont aussi bons en maths que moi je suis bon en lettres classiques.

Ils ont quasiment aucune formation et presque aucune culture mathématique. Alors comme ça a été douloureux pour eux, ils pensent que ça peut et doit l'être pour une bonne part des autres.

Je commence doucement à me retrouver de l'autre coté de la barrière (pas pour des maths, mais passons), dans un pays qui essaie d'atteindre 100% de réussite aux exams, ou tout au moins la réussite la plus haute possible. Je sais bien que ce n'est pas ce que tu as dit, mais ca m'intéresserait de savoir ce que tu penses de cet objectif.

Pour ma part, je n'arrive pas à m'y faire. Je ne peux pas m'empêcher de penser que si tout le monde réussit l'examen, on aurait pu en enseigner plus en ayant assez peu d'élèves qui ne suivent pas pour que ca vaille le coup (100 èlèves apprenant une unité de maths, c'est toujours moins que 98 élèves apprenant 1.05 unités).

Du coup je suppose que ma question, pas mal détourné du sujet initial il est vrai, c'est de savoir si un enseignement en considérant une moyenne est plus ou moins souhaitable qu'un enseignement en considérant les individus un par un.

L'excellent article que j'ai mis en lien répond à ta question.

Est-ce qu'un enseignant de primaire doute de ses élèves de leur capacité à apprendre à lire ou à compter ? Est-ce qu'un enseignant de physique en terminale en doute ? On pourrait appliquer cette questions aux enseignant d'histoire, anglais, français, sport.

Tout le monde n'est pas excellent, tout le monde n'a pas 20. Personne le conteste. Mais voir que la majorité des enseignants dans le sup pensent que c'est normal (!) d'avoir 50% d'échec …

Alors oui, l'objectif d'avoir 100% de réussite dans la matière c'est pas délirant. Ce sera pas atteint, mais autant que pour les autres matières. Avoir 90% des élèves qui ont au moins 10 à leurs bac de maths ça devrait être normal. Pour une épreuve demandant autant d'effort que les autres ofc.

Enseigner 1.05 au lieu de 1 ça sert à rien. Je comprends pas cette course au temps. Que ça prenne une année de plus pour avoir ses diplômes ça devrait pas être dur à accepter si ça permet à un plus grand nombre d'avoir accès aux études qu'ils veulent.

Honnêtement, finir ses études à 23 ou 24 ans, ça change quoi sur une vie ?

Si nos politiciens savaient "qu'inverser une courbe" ça n'a aucun sens, notre société aurait avancé.

On pourrait appliquer cette questions aux enseignant d'histoire, anglais, français, sport.

Je peux répondre à celle-là. En effet, il n'y a aucun doute : une part non négligeable des élèves resteront de grosses brêles dans ta matière. Y'a pas de solution miracle : certaines techniques marchent avec certains élèves et d'autres non, et même, certains élèves ont des blocages purement psychologiques vis-à-vis de ta matière ou de l'enseignement de manière générale.

D'une part, quand tu as 35 élèves par heure à gérer, tu n'as pas matériellement le temps de consacrer des semaines uniquement à un élève pour faire sauter ses blocages mentaux : la seule « solution » est que ta pédagogie personnelle produise un déclic chez lui, le coup du « prof miracle », « celui qui m'a fait aimer telle matière ». D'autre part, tu as 35 élèves en même temps devant toi, et si tu changes de pédagogie pour mieux convenir à certains, tu lèses une bonne partie de ceux pour qui ta pédagogie précédente était efficace. Enfin, les profs sont des humains, et leur manière de faire cours correspond globalement à leur caractère, et il leur est excessivement difficile d'adopter une manière de faire cours radicalement différente de leur méthode « naturelle ».

Ça n'enlève rien au fait que bon nombre de profs ont été recrutés sur leur connaissance de la matière et pas du tout sur leur capacité à faire cours, et qu'il y a donc objectivement des profs de merde. Ça n'enlève rien non plus au fait qu'il y a parmi les élèves de petites enflures qui ne veulent pas en foutre une rame, et que leurs parents soutiennent contre vents et marées parce que « leur choubidou est trop gentil à la maison pour être un connard arrogant en classe, c'est forcément les profs qui sont incompétents ». Ça montre simplement que, même avec des gens de plutôt bonne volonté d'un côté et de l'autre du bureau, et à moins de faire des classes de 10 et de laisser une grande liberté pour que les élèves changent de prof en cours d'année, il y aura toujours des élèves largués, et ce dans toutes les disciplines.

Honnêtement, finir ses études à 23 ou 24 ans, ça change quoi sur une vie ?

Ah mais ça, c'est pas aux profs qu'il faut l'expliquer : c'est aux élèves et surtout à leurs parents !

Tu sais quelle est la principale cause d'échec en Seconde ? Le fait que l'élève n'avait pas le niveau pour passer en Seconde mais qu'il est passé quand même. Et une partie de ces élèves va quand même passer en Première, parce que les parents gueulent rien qu'à l'idée que leur bébé d'amour puisse redoubler, et parce que passé 4 ou 5 redoublements dans une même classe, c'est le Proviseur qui se met à gueuler et à faire passer les élèves en force. Alors que veux-tu faire quand tu retrouves ces élèves en Première ou en Terminale ?

EDIT : la prof qui me sert d'épouse ajoute qu'à la rentrée prochaine les conseils de classe n'auront plus qu'une valeur consultative et que seuls les parents décideront si leur gamin peut passer dans la classe suivante et dans quelle section il ira. Joie…

Bof, c'est presque déjà le cas. Et puis sans mentionner le fait que ce sont les parents qui viennent frapper les profs, et pas le contraire quand y a un problème avec un gamin.

Je suis d'accord sur le fait que certains élèves seront largués. Mais est-ce que c'est parce qu'on a pas les moyens (possibles et imaginables) de les faire réussir ou parce qu'on ne s'en préoccupe pas.

Je suis très sérieux quand je dis que les enseignant de maths pensent que c'est normal, et même qu'il faut, avoir un échec de 50% pour qu'ils se disent qu'ils ont bien fait leur boulot. Je pense pas qu'un autre prof réagirait de cette manière (grosse panique, sueurs froides) si toute sa classe avait eu au moins 10 à un contrôle.

En fait, si, c'est relativement courant en lettres et SHS. Ce sont généralement les mêmes qui t'expliquent qu'ils ne mettent pas plus de 18 parce que la perfection n'existe pas. Et de manière générale, un prof qui n'aurait que des notes au-dessus de la moyenne se dirait qu'il s'est passé quelque chose d'anormal. Sans forcément trouver que ce quelque chose est un mal, mais quand une courbe de Gauss bien répartie autour du 10 perd soudainement sa moitié inférieure, ça soulève des questions…

Non mais en plus, pourquoi une courbe de Gauss devrait être centrée autour de 10 ? Un prof qui fait bien son boulot devrait réussir à la centrer autour de 12, tout en ayant un niveau d'exigence normal vis-à-vis de ses élèves.

Je ne dis pas que tous les élèves devraient réussir à tout comprendre du jour au lendemain. Mais dans un cours bien fait, tout élève qui a les prérequis devrait pouvoir atteindre une note supérieur à la moyenne en fournissant une quantité normale de travail. Si ce n'est pas le cas, c'est que l'enseignant a mal fait son travail.

Ajout — Ah, et aussi. On oublie souvent que c'est aux profs de faire en sorte que les élèves soient intéressés par leurs cours. On ne peut pas reprocher à un ados de 15 ans d'être plus intéressé par le prochain film qui sort au ciné que par le théorème de Pythagore et sa réciproque… C'est à l'enseignant de générer de l'intérêt. Et c'est largement possible avec les maths.

Comment ?

@Holosmos : j'ai lu la première partie de l'article que tu mentionnes dans ton premier message. L'argument selon lequel les élèves préfèrent les Maths à l'école parce qu'ils suivent des filières scientifiques n'est pas valable selon moi. Je suis en Maths Spé et donc fais probablement partie de ces élèves auxquels plaisent les Maths et pourtant les cours sont loin de me convenir (et je ne suis pas le seul). D'ailleurs, je ne fais jamais de Maths seules en dehors de la prépa.

Personnellement, je pense qu'il faut placer des limites pour ce qui est de générer de l’intérêt. Attention : je ne dis pas que générer de l’intérêt est inutile, et ce peut être une bonne chose. Mais le savoir est ce qu'il est, et tenter de le recouvrir d'un vernis motivant peut parfois être contreproductif.

Je m'explique. Si on regarde bien, il n'y a pas 36 façons pour rendre un cours motivant. Pour cela, on peut :

• ajouter des détails amusants et/ou séduisants ;
• laisser les élèves chercher et réfléchir de manière autonome (c'est la méthode des pédagogies par découverte), ce qui se fait généralement en rendant l'apprentissage ludique.

Or, ces méthodes ont tendance à diminuer la compréhension ou la mémorisation du matériel à enseigner. Par exemple, l'usage de faits et de détails amusants, séduisants, a tendance à diminuer la compréhension : c'est ce que la recherche nomme sous le terme de "seductive detail effect". Et cet effet est surtout observé chez les élèves avec une faible mémoire de travail, ceux qui ont naturellement de faibles résultats scolaires (les autres sont souvent assez bien immunisés).

Pour ce qui est des méthodes par découverte, celles-ci sont incompatibles avec les limitations de la mémoire de travail. Le résultat est qu'elles doivent être fortement guidées par le professeur pour donner des résultats légèrement supérieurs à ceux d'un enseignement magistral, tout en prenant beaucoup plus de temps. Autant dire que dans ces conditions, le coté motivant disparait assez rapidement !

A ce titre, je doute fortement de l'utilité pédagogique des mathématiques récréatives, les fameux jeux et défis mathématiques qu'on retrouve souvent dans la vulgarisation. Déjà, c'est limité aux mathématiques assez basique : va me trouver un jeu pour me faire comprendre ce qu'est une transformée de Fourier, qu'on rigole ! Ensuite, les utiliser en première intention, pour induire des concepts, c'est définitivement niet ! Et ce d'autant plus que ces jeux servent souvent à faire découvrir les principes et concepts à apprendre, principe qui se cache derrière les pédagogies par découverte. Au mieux, une faible partie de ces jeux ou situations amusantes peuvent servir d'exemples pour illustrer des concepts déjà abordés, mais pas plus.

Pour résumer, la marge de manœuvre pour rendre un cours intéressant est très limitée. Après tout, le savoir est ce qu'il est, et si la méthode la plus utilisée dans l'enseignement est un cours magistral très souvent "déductif" - et non une méthode inductive - ce n'est pas pour rien. Ausubel, chercheur en pédagogie, disait d'ailleurs, dans un de ses livres daté de 1963 :

Didactic exposition has always constituted the core of any pedagogic system, and, I suspect, […] it always will, because it is the only feasible and efficient method of transmitting large bodies of knowledge

Et surtout, est-ce que c'est vraiment nécessaire de rendre un cours motivant ? Modifier un cours pour le rendre motivant, c'est considérer que les élèves réussissent parce qu'ils sont motivés. Mais les recherches sur la motivation montrent surtout l'influence inverse : on est motivé parce qu'on réussit, parce qu'on est performant dans la matière enseignée !

Enfin, dernier détail : quoiqu'on fasse, il y aura toujours des élèves qui ne s’intéresseront pas du tout à la matière enseignée, y compris avec un cours conçu pour être intéressant. Par exemple, je défie quiconque de m'intéresser à la littérature classique, ou au latin.

C'est pas un argument balancé à la volée. Des études l'ont montré, et elles ne datent pas de 1789.

Parmi tous les gens que je connaissent et qui ne font plus de maths. Une énorme majorité me dit quelque chose dans le style :

Les maths ça doit être super quand on comprend ou quand on a un bon prof.

Ce qui signifie bien que les maths intéressent, mais sont mal abordées.

D'ailleurs même après les études, les mathématiciens et les maths intéressent. Par exemple, les séries de conférence "Un texte, un mathématicien" à la BnF (on peut difficilement faire un titre plus explicite) réunit toujours beaucoup de monde alors que les sujets abordés sont pas si évidents. Le peu de littérature au sujet des maths a également du succès et c'est pas nouveau. Poincaré a eu beaucoup de popularité grâce aux livres qu'il a écrit au sujet de son travail. Les gens comprenaient pas bien les livres, mais ils aiment entendre parler de maths.

@Mewtow : Pourquoi un cours magistral (du genre ça) n'est-il pas accepté sur ZdS du coup (vraie question) ?

Ce qui signifie bien que les maths intéressent, mais sont mal abordées.

Justement, comment les aborder ? A la base, c'était ça la question. x)

Aucune idée, je ne suis pas du Staff, et je ne valide pas de tutoriels.

Sauf que ta question n'a pas vraiment de sens : il n'y a pas d'approche générale qui permet d'obtenir des cours de mathématique parfaits du premier coup. Tout dépend de comment tu structure ton cours, de ce que tu as à enseigner, et surtout : des pré-requis possédés par les élèves.

Ainsi, certains contenus doivent s'enseigner par la méthode axiomatique, tandis que cela donnera une catastrophe pour d'autres. Par exemple, tu ne peux pas enseigner les 4 opérations à un élève de primaire de manière axiomatique, parce que ses pré-requis sont trop faibles. Par contre, celle-ci est une nécessité une fois qu'on a atteint un niveau suffisant (comme en classe préparatoire, ou en lycée) : on peut difficilement comprendre convenablement ce qu'est une limite, une dérivée, ou un groupe sans avoir recours au formalisme.

Ma remarque ne concerne pas que les maths. Il faut réussir à arrêter de séparer de façon hermétique les différentes matières. L'enseignement serait plus intéressant s'il était fait par thématiques. Ttypiquement, comme le CdS sur l'espace : on y a fait de la physique, de la simulation numérique donc des maths, de l'histoire, on a parlé de l'énergie donc de l'environnement, de biologie pour la chiralité, de chimie, etc.

Et il est forcément possible de faire cela à plus grande échelle. Choisir quelques thématiques d'appui autour desquelles se construit le programme de toutes les matières. Je ne dis pas que c'est facile à faire, mais c'est faisable.> > Et c'est largement possible avec les maths.

Les maths, c'est du raisonnement. Tant qu'on aura oublié cela et qu'on réduira les maths à « connaître les identités remarquables ou mourir », les collégiens ne pourront pas aimer ça. Ça n'a aucun intérêt à part exercer la mémoire. Par contre, on peut expliquer comment interpréter les identités remarquables graphiquement, les liens avec les aires de rectangles. On ne peut pas aimer les maths si l'on a l'impression que ça se réduit à apprendre des formules magiques.

Après, il ne faut pas rêver : il y aura toujours des gens qui ne seront pas intéressés par les sciences. Mais après tout, personne n'est intéressé par tout ce qui existe et c'est normal. Mais je suis toujours triste que les a priori que les gens ont des maths soient nés sur les bancs de l'école.

Ce que tu as dis Mewtow m'étonne beaucoup …

Lors de ma bêta pour un petit tuto (qui veut s'agrandir) on m'a fait beaucoup le reproche de faire peu d'exemples et de pas assez mettre de carotte au lecteur. C'est en contradiction avec ce que tu dis et du coup je suis un peu perdu.

Est-ce que dans le cas de mon tuto sur les DL tu pourrais développer un peu plus sur la pédagogie que je devrais favoriser ? Est-ce que je dois mettre des exemples et carottes à tout va ? ou alors juste un peu plus ?

Finalement ça nous fait un cas concret à discuter

Ce n'est pas en contradiction, il y a juste une nuance à saisir : tous les exemples ne sont pas des carottes motivantes et réciproquement. Donner des exemples est une bonne chose, à condition de bien choisir les exemples : ils doivent illustrer le concept, et être faciles à comprendre par l'élève. Cependant, les exemples cools et amusants ne sont pas ceux qui illustrent le mieux un concept : ils ont tendance à faire dériver l'attention sur les détails amusants de l'exemple.

Quand à ma critique sur les jeu mathématiques et autre, je critique :

• le fait que nombre d'entre eux enseignent des connaissances trop spécifiques (cette réflexion m'est venue en lisant cet article) ;
• le fait que ces jeux forcent les élèves à découvrir des concepts.

EDIT : Vu ce que tu dis dans le message qui suit, aucun exemple ne semble poser problème, bien au contraire.

Typiquement j'avais mis une étude de cas permettant d'apprendre à éviter des pièges. Et dans le cours même quelques exemples très simples (énoncés en une ligne chacun) pour se faire une idée de la situation lors de nouvelles notions importantes.

Du coup, effectivement, c'était pas des exemples méga passionnant. Mais si je suis ce que tu dis c'était les plus utiles …

Peut-être que c_pages et Vayel peuvent réagir dessus ?