Enseigner les Mathématiques

Intuitivement, non.

Je ne sais pas si ça rentre bien dans le cadre de la question mais, rien qu'en logique du premier ordre, les formules deviennent rapidement incompréhensibles dès que l'on commence à alterner les quantificateurs universels et existentiels (c'est à dire les formules de la forme $\exists x_1 \forall x_2 \exists x_3 \forall x_4 \dots \phi$). On peut manipuler ce genre de formule sans problème, mais de là à avoir l'intuition de ce qu'elles veulent dire…

En fait, ton exemple n'est pas si bon. Typiquement, cette alternance des quantificateurs peut avoir un sens dès qu'on fait des jeux.

Je cherche un coup tel que pour toutes réponses de l'adversaire, je peux encore jouer un coup tel que pour toutes nouvelles réponses de l'adversaire, je peux à nouveau jouer un coup etc…

Cela se traduit aisément à l'aide de quantificateurs $\exists$ et $\forall$.

Du coup 2 questions :

• Pour comprendre $\phi$, il faut des règles sur le jeu non ? Se représenter les alternances de quantificateurs comme une stratégie, pourquoi pas, mais est-ce que ça va aider à comprendre les contraintes qui sont imposées sur les $x_i$ par $\phi$ ? J'ai fait très peu de théorie des jeux, et seulement depuis cette année.
• Est-ce que reformuler une notion en une autre permet d'en avoir une intuition (qui soit bonne) ? L'idée que j'avais, c'est que beaucoup de notions mathématiques peuvent être exprimées en logique du premier ordre, et que si c'est déjà difficile à intuiter, ça ne sera pas forcément évident en les exprimant autrement. Ici, tu ne parles d'ailleurs pas forcément de l'exprimer autrement mais plutôt de lire différement non ?

En fait, pour la question métamathématique "Peut-on avoir une bonne intuition de toutes les notions mathématiques", je trouve ça intéressant d'utiliser justement les métamathématiques. Il faudrait commencer par définir intuition et notion, qui sont pour le moment très floues. Est-ce qu'une notion est "intuitive" si elle peut être déduite par nos systèmes de preuves axiomatiques actuels (on ne veut pas de fausse intuition) ? Si oui, Gödel nous dit qu'il y a des notions non-intuitives.

Après je m'emporte peut être.

Les théorèmes de Gödel ont des hypothèses. C'est un peu périlleux ce que tu fais là.

Et il n'y a pas tant de notions exprimables dans le langage du premier ordre. Dès qu'on a besoin de manipuler des parties ça se complique. Donc c'est difficile à appliquer pour l'analyse et la topologie (par exemple).

J'ai bien conscience que le premier ordre n'est pas assez puissant pour exprimer des tas de choses. Mais si déjà avec du premier ordre on n'a plus d'intuition pour certaines notions, inutile d'aller chercher plus loin.

Et pour Gödel, bien évidemment qu'il faut formaliser les choses pour voir si ça rentre dans ce cadre. C'était pour donner idée des questions amusantes qui découlent de la question de base.

Je comprends même pas cette histoire de premier ordre. Le formalisme est un outil donc si on ne comprend pas tout avec, on fait sans ou avec moins, comme le commun des mortels mathématicien qui ne s'amuse plus à faire du premier ordre comme au lycée ou en prépa.

Je vais essayer de reformuler l'idée que j'avais.

Si on considère l'ensemble des notions exprimables en logique du premier ordre, alors il existe des notions qui, sous leur forme la plus "simple", sont arbitrairement complexes lorsque exprimées avec ce formalisme (par "complexe" j'entend le niveau d'imbrication de quantificateurs alternés). Quand je dis "inutile d'aller chercher plus loin", j'entend "inutile de considérer des notions non FO-définissables si on a déjà un contrexemple de notion FO-définissable non intuitive".

Après, là où mon raisonnement est biaisé, c'est que je considère la logique du premier ordre comme naturelle, alors que certaines notions sont peut être plus simples exprimées avec un autre formalisme. La question est donc de savoir s'il existe un formalisme permettant d'exprimer une notion de manière intuitive pour chaque notion.

Bon, et finalement en rédigeant ce message, je me dis qu'une intuition au sens large ne s'exprime pas forcément, même en langage naturel (ça a plus rapport au ressenti). Du coup effectivement, regarder la complexité de l'expressivité d'une notion n'est pas très malin puisqu'on peut avoir une intuition sans savoir l'exprimer (+ l'intuition est relative à chaque individu). Donc rien à voir avec ce sur quoi j'étais parti.

Après, là où mon raisonnement est biaisé, c'est que je considère la logique du premier ordre comme naturelle, alors que certaines notions sont peut être plus simples exprimées avec un autre formalisme.

C'est surtout que tu vois la logique du premier ordre comme antérieure aux mathématiques, ce qui de fait est faux.

En fait je pense qu'il y a une petite confusion. Quand on a de l'intuition, on a de la compréhension immédiate. Ca n'empêche que l'intuition, on peut se la forger. Et c'est ce dont je parle.

Dans ce cas là, si je puis me permettre, c'est toi qui fais une confusion entre intuition et habitude. La simple idée de forger une intuition n'a pas de sens. Si il y a besoin de forger, ce n'est plus une intuition par définition.

Non mais inutile de se battre sur la définition du mot intuition, je pense que le mot est mal choisi. On parle d'enseigner une notion de manière intuitive, ça ne veut donc pas dire "de manière immédiate". Je comprend l'exemple initial (théorie de la mesure) comme: essayer de trouver une image, une analogie, dans le langage naturel, pour pouvoir s'approprier la notion.

Je comprend l'exemple initial (théorie de la mesure) comme: essayer de trouver une image, une analogie, dans le langage naturel, pour pouvoir s'approprier la notion.

C'est effectivement ce que je voulais dire.

Mais le débat sur l'intuition est aussi intéressant.

Y a quand même un moment où les objets mathématiques sont suffisamment abstrait (par défaut et aussi par but) pour que les relier à la réalité soit plus ardu que désiré.

Tu auras des applications peut-être plus parlantes à la théorie de la mesure si tu travailles avec de l'ergodicité. Mais sinon je sais pas trop quoi ajouter. Y a certaines définitions à connaître et comprendre, mais à part ça on peut rarement en demander plus.

Je ne vois pas le rapport entre les deux sujets.

Sinon, je ne suis pas d'accord. Une grosse partie du travail même des mathématiciens a toujours été de ramener des concepts abstraits à des concepts facilement imageables et manipulables. J'en veux pour preuve toute l'analyse fonctionnelle dont le but premier était de géométriser l'analyse afin de retrouver les habitudes et les intuitions de la géométrie.

A première vue c'est plus sympa de manipuler des angles que de couper des epsilons en quatre.

Sinon, pour faire une réponse de Normand, je citerais bien Guy Choquet:

« Je suis un intuitif et un géomètre. Dès l’école primaire et le lycée, de tout problème mathématique j’essayais d’avoir une vision géométrique, de le traduire en figures simplifiées au maximum pour en dégager le squelette fonctionnel. Cette habitude m’a conduit à l’âge adulte, à adopter un style de recherche qui consistait, tout en m’appuyant sur une connaissance approfondie d’un ou plusieurs cas particuliers, à me placer dès que possible dans un cadre aussi général que possible où le problème ait encore un sens, quitte à le particulariser au fur et à mesure des besoins. Ceci me permettait tout à la fois de donner au problème la souplesse maximale et d’aboutir, si du moins je le résous, à la création d’outils mathématiques utilisables dans d’autres circonstances que celles qui les ont fait naître. »

«On peut dire qu’en mathématiques, comme à la guerre, il y a des stratèges et des tacticiens. Le stratège militaire a une certaine intuition de la façon dont il faut mener la campagne, une vision des grandes masses et de leurs relations mutuelles ; le tacticien colle au terrain, il a des connaissances techniques et un goût marqué pour le travail d’organisation. Je serais plutôt stratège, en ce sens que je vois les grandes masses et que je n’aime pas et ne parviens pas à accumuler des connaissances sur des techniques connues. Je dis parfois que je ne connais à fond aucune des parties des mathématiques, et c’est peut être parce que je n’ai pas de véritable spécialité que j’ai pu faire progresser plusieurs domaines des mathématiques.»

Alors, stratège ou tacticiens ?

Oui mais là tu parles d'un lien entre différentes mathématiques.

Même si on géométrie l'analyse fonctionnel, je vois pas le rapport avec le réel empirique.

Tout le monde comprends intuitivement la notion d'angle, de translation, de rotation, de distance, de convexité. En géométrisant tu ramènes des concepts abstraits peu intuitifs à des concepts abstraits plus intuitifs car ils ont une réalité empiriques plus proches.

Typiquement, tout le monde voit ce qu'est un cercle. Personne n'a pourtant observé un cercle dans la vraie vie, techniquement. Alors après cela à des limites, du type "je considère des choses en dim 3 pour illustrer mais mon concept n'existe pas en dimension 3" par exemple.

Et encore, ça, c'est le cas gentil. C'est pas du tout rare d'avoir une situation avec un nombre indénombrable de boules en dimension infinie, et d'en dessiner 4 au tableau juste histoire de dire. Et là, sans une bonne intuition et capacité d'abstraction, le dessin n'est pas d'un grand secours ; par contre, il est très utile si on a déjà une bonne perception des choses a priori.

Tu n'as pas cité mon exemple sur l'intuition de la théorie des ensembles à un élève de 12 ans (ou moins). Du coup, je ne comprend pas du tout ce que tu appelles intuition. Puisqu'en se référant à cet exemple, on en déduit qu'une certaine expérience précède l'intuition. D'où qu'elle est ta limite ?

En fait, l'idée même de se forger une intuition, je ne vois pas en quoi c'est en contradiction avec la définition. Déjà il n'y a pas une définition, mais plusieurs, d'où ma demande de préciser le sens que tu utilises. Et ensuite, d'après ce que j'ai pu voir sur wikipédia. La compréhension immédiate ne dit rien sur ce qui se passe avant…