Enseigner les Mathématiques

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De ma petite expérience, je n'ai compris que cette année de l'importance des définitions en mathématiques. Les théorèmes vont rarement te donner de l'intuition, plus les confirmer, c'est souvent les définitions en elles-mêmes qui aident à la compréhension je trouve.

Hors, souvent quand on vient avec une définition, on a une idée en tête, une motivation. Ce que je reproche pour beaucoup de papiers, c'est qu'ils viennent parfois sans présenter la motivation. Par exemple les auteurs arrivent avec leur algorithme, puis enchaînent les lemmes/théorèmes pour prouver la correction/terminaison de l'algorithme. Puis à la fin, tu as un petit exemple pour montrer que ça marche.

Le problème dans cette démarche, c'est que moi, en temps que lecteur, je préférerais avoir l'exemple avant, comprendre pourquoi on a pas d'algorithme qui fonctionnent dessus, et qu'est-ce qui fait que l'algorithme fonctionne. Et du coup, en lisant l'algorithme et les preuves on aura l'intuition derrière.

Et pour les définitions, je trouve que c'est la même chose. Si on est guidé par un exemple (ou plusieurs) qui motivent l'introduction de ces définitions, c'est beaucoup plus facile de comprendre ou l'auteur veut nous emmener.

Maintenant, ce n'est pas toujours le cas. Le lecteur peut avoir déjà une intuition, et il va juste chercher dans un livre/cours la preuve d'un théorème ou d'un propriété, il n'aura pas besoin d'être motivé (ce qui est rarement le cas dans un article de recherche).

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Ça dépend des sujets. Après les reformulations il est pas toujours facile de pouvoir extraire l'aspect historique. D'autant plus qu'il est parfois bien plus simple de ne pas respecter le cheminement historique.

J'aurais plutôt tendance à favoriser une approche personnelle dans ces cas. C'est-à-dire que l'auteur commente avec son vécu comment les définitions s'articules et ce qu'elles signifient. Cependant, ça demande une plus grande prise de risques puisque c'est personnel.

Édité par Holosmos

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Quand on étudie un livre seul, c'est sûr que le vécu de l'auteur peut nous servir. Mais dans ce cas, on étudie les sujets qui nous plaisent et surtout on lit ce qui nous plait dans les livres qu'on choisit. Je n'ai pas beaucoup d'expériences de livres de maths, mais quand j'en lis, je dirais presque que c'est un moment de détente.

Pour enseigner les maths, je pense qu'il faut une approche différente. Peut-être une hybridation entre l'aspect historique et l'approche personnelle.

Assez des salamis, je passe au jambon — Je fais un carnage si ce car nage car je nage, moi, Karnaj ! — Le comble pour un professeur de mathématique ? Mourir dans l’exercice de ses fonctions.

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Saroupille : mais de la même manière, tu peux avoir des cas où la définition n'est au contraire pas clair, et c'est un théorème qui rend les choses plus limpides.

Après, pour la clarté du sujet, j'ai tendance à dire que ça dépend beaucoup de ce qu'on lit et de qui c'est pour pouvoir généraliser, mais mon expérience est assez réduite là dessus. J'ai seulement vraiment travaillé sur un extrait de document de thèse tiré de l'IEEE qui commence à dater, mais l'auteur explique au contraire très peu ses algorithmes, ne détaille pas la plupart des propositions mais insiste vraiment sur les points pivots de ses idées.

Enfin bref, je pense qu'il faut quand même nuancer, et que pour beaucoup de cas, ça doit être qu'il manque le background derrière comme le dit Vayel, que l'auteur ne peut/veut pas nécessairement ajouter.

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D'où l'intérêt de suivre le cheminement historique. ^^

Vayel

Dans un article de recherche, tu n'as pas envie de faire ça. Pourquoi ? Car l'approche historique est semé d'impasse. Et tu n'as pas envie d'entraîner ton lecteur dans ses impasses. Tu veux plutôt le mener vers une ligne droite.

C'est bien expliqué dans cette video : https://www.youtube.com/watch?v=g3dkRsTqdDA

(C'est au milieu de la video je ne sais plus trop où)

Saroupille : mais de la même manière, tu peux avoir des cas où la définition n'est au contraire pas clair, et c'est un théorème qui rend les choses plus limpides.

Après, pour la clarté du sujet, j'ai tendance à dire que ça dépend beaucoup de ce qu'on lit et de qui c'est pour pouvoir généraliser, mais mon expérience est assez réduite là dessus. J'ai seulement vraiment travaillé sur un extrait de document de thèse tiré de l'IEEE qui commence à dater, mais l'auteur explique au contraire très peu ses algorithmes, ne détaille pas la plupart des propositions mais insiste vraiment sur les points pivots de ses idées.

Enfin bref, je pense qu'il faut quand même nuancer, et que pour beaucoup de cas, ça doit être qu'il manque le background derrière comme le dit Vayel, que l'auteur ne peut/veut pas nécessairement ajouter.

unidan

Alors si tu as des exemples en tête je veux bien. Si à partir de la définition tu ne peux pas deviner le théorème, oui je comprend ce que tu veux dire. Mais tout ton théorème se repose sur la puissance des définitions qu'il utilise à mon goût. Et c'est ce que je dis à la fin, pas besoin de faire des documents self-contained dans un article de recherche, sinon tu ne t'en sors pas.

Mais cela vaut aussi bien pour les mathématiques. Je me souviens que la première fois où j'ai été confronté à l'algèbre linéaire, le prof est arrivé en disant c'est super cool, il a dessiné un parallélogramme au tableau et ensuite c'était définition d'un EV. Et autant dire que personne n'avait vu les groupes. Bref, je me souviens d'avoir validé cette UE sans avoir compris un truc dans le cours si ce n'est les algorithmes/calculs qu'il fallait faire pour répondre aux questions.

Et là ça fait défaut je trouve, de ne pas motiver le lecteur. Car même si tu te retrouves avec des gens motivés par les mathématiques, comprendre la définition d'un EV… c'est pas si simple. L'intuition, tu l'obtiens les premières fois où tu es confronté à un exemple concret.

Et manqué de background, je veux bien que tu précises ton propos. Je rédige en ce moment un document self-contained qui fait 12 pages sur une preuve lié à un article de recherche. Vu que j'utilise très peu de théorie des ensembles, quelqu'un un poil habitué au formalisme (bon niveau terminal) il devrait avoir le background nécéssaire. Pourtant je suis sûr qu'il ne va rien comprendre car je ne précise pas mon contexte (et c'est tout à fait normal).

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L'intuition, tu l'obtiens les premières fois où tu es confronté à un exemple concret.

Bizarrement pour l'algèbre linéaire j'ai eu beaucoup plus d'intuition quand j'ai commencé à faire de la géométrie différentielle.

J'en avais déjà avant ça mais je crois pas que les exemples soient la seule manière d'avoir de l'intuition. J'ai l'impression que changer de situation aide aussi à comprendre.

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J'ai deux exemples en tête, le premier est pas marrant, donc tu peux seulement lire le second tout en bas si tu le souhaites. :p

Dans l'article en question, "Multiple-valued minimization for VLSI synthesis", il définit

A function is said to be weakly unate in variable $X_i$ if there exists a $j$ such that changing the value of $X_i$ from value $j$ to any other value causes the function value, if it changes, to change from $0$ to $1$.

Là avec le contexte, ca devient assez rapide de comprendre comment ça marche, mais la définition est obscure parce qu'elle encadre beaucoup de cas. Ce sont les remarques qui disent qu'il n'y a pas besoin de définir les versions ascendantes et descendantes de la définition (ce qui se fait en logique booléenne), et c'est le théorème qui dit que si on a une fonction "weakly unate", on peut lui associer une "cover weakly unate" qui est définie comme ayant un $0$ dans une colonne $j$ pour tous les cubes qui dépendent de la variable $X_i$. Une fois le théorème compris et l'exemple avec une cover donnée, ça devient très facile de comprendre comment ça fonctionne, avant on a juste une propriété plus ou moins obscure (même si c'est relatif).

C'est une propriété qui devient encore plus visible quand tu te permets de dessiner les cubes en question (bon, il faut au plus trois variables, et au dessus de trois valeurs par variable ça commence à devenir de la grosse maille), et la propriété se comprend assez facilement (ça signifie qu'il y a un cube qui est le seul à couvrir toute une certaine partie de l'espace, et que le reste est contenu dans un hypercube plus petit).

C'est possible d'encore perfectionner cette définition pour avoir les mêmes propriétés que les fonctions unaires en logique binaire, avec une relation d'ordre totale (plutot que partielle - dans le sens qu'on lui donnerait - comme pour haut dessus) sur les indices, et sans théorème pour expliquer (qui est qu'un cube contenu dans la fonction est forcément contenu dans l'un des cubes qui décrit la fonction, représentée avec des cubes) ça devient difficile à suivre.

Pour les plus téméraires (fou). Les fonctions en question, ce sont des fonctions à variables dans un produit cartésien d'ensemble fini $P_1, \cdots, P_n$ qu'on assimile à $\{0, 1, ..., p_k-1\}$$p_k = \mathrm{card} P_k$.

$$ f: P_1 \times \cdots \times P_n \longrightarrow \{0,1\} $$
Les littéraux vont être les fonctions $X_i^{S_i} = \mathbb{1}_{S_i}(x_i)$$x_i$ est la i-ème variable du domaine, donc appartient à $P_i$, et $S_i$ une partie de $P_i$. De là, les mintermes sont un produit des littéraux : $c = X_1^{c_1}\cdots X_n^{c_n}$, et les cubes sont la représentation positionnelle des mintermes. Le cube de $X_1^{1,3}X_2^{1}X_3^{1,2,3}$ pris dans le domaine $\{1,2,3\}^{3}$, est noté
$$ 101-100-111 $$
Et puisque une fonction peut toujours s'écrire sous forme canonique disjonctive, une "cover" va simplement être un ensemble de cube empilé à la verticale. Alors :
$$ \begin{align} 111-100-101 \\ 011-011-110 \\ 001-011-101  \end{align} $$
Ici la fonction est bien "weakly unate" en la variable $X_1$ parce que sa première partie respecte le critère, mais pas en $X_2$ car le premier cube dépend de $X_2$. Autre remarque qu'on peut faire, c'est qu'aucun des deux derniers cubes ne touche le premier, car ils sont séparés dans l'espace en la deuxième variable, mais c'est juste pour pousser le fun.

Bravo à ceux qui ont lu ça.

Je cherche des co-auteurs pour voir si je peux faire quelque chose de propre à partir de ça.

De façon un peu plus naïve (c'est un exemple prépa, donc à prendre avec des pincettes), l'exemple que j'avais en tête, c'était celui des fonctions multivariées $C^1$, c'est à dire différentiable de différentielle continue. On attend une propriété, c'est que les dérivées partielles soient aussi continue, par contre on se rend compte avec un théorème qu'on a également la réciproque, et celui là n'était pas forcément naturel et ne tombe d'ailleurs pas du ciel, surtout si tu es passé par quelques contre-exemple assez contre-intuitif avant, et parce que tu obtiens alors la différentiabilité en plus.

Pour "l'enthousiasme" à transmettre avec l'article, je suis d'accord là dessus, mais celui qui fait des sciences n'est pas nécessairement bon pédagogue (ce qui serait pourtant l'une des meilleures qualités à avoir pour).

Pour le background, l'exemple pas marrant du dessus, ça peut être un cas de manque de background, parce qu'il n'y a pas de prérequis à connaitre non plus, et tout peut être quasiment self-contained aussi (sauf si tu comprends toutes les finalités de la chose du premier coup ou que tu es familié au domaine). D'ailleurs le document duquel est tiré la majorité du contenu fait 140 pages de souvenir. Je voulais surtout désigner le manque d'habitude, de réflexe, d'aisance sur le sujet donné.

Et le côté historique, je ne suis pas d'accord avec ton argument, parce que s'il refait surgir toutes les embûches par lesquelles sont passés les scientifiques, il ne t'impose pas d'y repasser toi-même, et l'intérêt selon moi (de ma maigre expérience, je reprécise) est de voir plusieurs visions du travail, et éventuellement trouver une autre façon de faire les choses.

Édité par unidan

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Auteur du sujet

Je relisais tout à l'heure mon cours d'équations différentielles linéaires scalaires et les solutions d'une telle équation d'ordre 2 à coefficients constants dont le polynôme caractéristique admet deux racines réelles distinctes $r_1$ et $r_2$ était présentée ainsi :

$$ \text{Vect}(x \mapsto \exp(r_1x), x \mapsto \exp(r_2x)) $$

Alors que l'an passé, on l'avait appris comme ça, puisque les espaces vectoriels n'avaient pas encore été vus :

$$ \alpha \exp(r_1x) + \beta \exp(r_2x), (\alpha, \beta) \in \mathbf R^2 $$

L'avantage de la première est qu'on se rend compte facilement que $(x \mapsto \exp(r_1x), x \mapsto \exp(r_2x))$ est une base de l'espace solution. La deuxième, par contre, est accessible à plus de personnes.

Je me suis donc demandé : si un cours sur les équations différentielles linéaires scalaires était écrit sur ZdS, quelle méthode emploierait-il ?

De manière plus générale, est-il judicieux d'enseigner des maths avec le moins de notions possibles ? Certes, cela rend le cours plus accessible, mais cela rend aussi plus difficile de relier les notions entre elles (par exemple, espaces vectoriels et équations différentielles).

"Bienheureux celui qui sait rire de lui-même, il n’a pas fini de s’amuser." Joseph Folliet

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Auteur du sujet

Ca veut dire que ton cours requiert une connaissance basique des espaces vectoriels. N'est-ce pas un peu dommage ?

"Bienheureux celui qui sait rire de lui-même, il n’a pas fini de s’amuser." Joseph Folliet

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Il est vrai que passer par les espaces vectoriels montre vraiment l'unité des maths, et comment tous les éléments s'imbriquent.
Le problème étant évidemment les prérequis demandés par le cours. C'est pour cela que je demandais dans un autre post s'il n'existait pas un minimum théorique en maths qui permettrait d'aborder toutes les autres notions. Les espaces vectoriels en feraient partie, car beaucoup de notions peuvent se voir sous le prisme de l'algèbre linéaire (par exemple voir les fonctions comme des vecteurs).

Je me souviens d'un post de Micmaths il y a longtemps sur OC ou il présentait les mathématiques sous forme d'un sablier : en bas les notions de base à connaitre, en haut les sujets avancés. Il prévoyait d'écrire 6 cours de base, qui étaient, de mémoire :

  • nombres et opérations
  • équations
  • géométrie
  • suites et fonctions
  • logique et ensembles
  • structures algébriques, espaces vectoriels

(il a déjà écrit les 3 premiers sur OC d'ailleurs)

Voila ce qui constituerait le "socle commun de connaissances". Les espaces vectoriels constituant pour lui le goulot du sablier, qui permet de relier tous les autres. C'est un peu la clé de voute des maths, notion à partir de laquelle on pourrait explorer plein d'autres sujets du haut du sablier (par exemple les espaces de fonctions pour reprendre l'exemple de Vayel).

Dans ce cas, on devrait insister sur les 6 cours ci-dessus, qui donneraient la base au lecteur pour suivre ensuite des cours plus avancés. C'est sur ces 6 cours que devrait se porter l'essentiel de l'effort pédagogique, pour donner l'intuition mathématique au lecteur.

Pour répondre à l'exemple proposé : je pense que le cours sur les fonctions devrait parler des équa diffs (sans espace vectoriels) pour en donner une vision intuitive au lecteur, puis un cours postérieur aux espaces vectoriels reviendrait sur la notion mais avec l'autre point de vue.

Auteur du sujet

Pensez-vous qu'il soit possible de comprendre intuitivement toutes les notions mathématiques ? Par exemple, je fais actuellement de la théorie de la mesure, et autant la mesure d'un ensemble me paraît intuitive (en très gros, on prend sa règle et mesure sa longueur), autant je ne parviens pas à voir le fait qu'une fonction soit mesurable autrement qu'à travers sa définition (les images réciproques de tout intervalle de l'espace d'arrivée sont mesurables ; vu pour une fonction de $\mathbb R^n$ dans $\bar{\mathbb R_+}$).

"Bienheureux celui qui sait rire de lui-même, il n’a pas fini de s’amuser." Joseph Folliet

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Pensez-vous qu'il soit possible de comprendre intuitivement toutes les notions mathématiques ?

Non, personnellement je ne pense pas. Pour une raison simple, ce qu'on appelle l'intuition est en simplifié le fait d'être capable d'absorber une notion sans faire de raisonnement.

Ce qui intuitivement me semble inapplicable au domaine mathématique construit par le raisonnement. À force de manipuler ces notions mathématiques, on va développer une certaine aisance à les manipuler (et éventuellement à construire encore par-dessus), mais ce sera une fausse intuition, paradoxalement acquise après avoir effectué un raisonnement sur la notion en question.

I don’t mind that you think slowly, but I do mind that you are publishing faster. — W. Pauli

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Pensez-vous qu'il soit possible de comprendre intuitivement toutes les notions mathématiques ?

Vayel

En fait tout dépend de ce que tu appelles « intuition ». Tu sembles voir ça comme un rapport au réel empirique. Dans ce cas, non, je ne pense pas que tu puisses tout voir de cette manière.

Pour moi, l'intuition, c'est ce qui sera discutée à l'oral pour un problème. C'est quand on laisse de côté le formalisme de contexte pour parler des idées sous-jacentes. Et dans ce cas, je pense que oui, tout peut se voir intuitivement.

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Pensez-vous qu'il soit possible de comprendre intuitivement toutes les notions mathématiques ?

Vayel

En fait, même si ce qu'on entend derrière intuition est ambiguë, j'aurais plutôt tendance à répondre oui. Evidemment cela se base sur mon expérience d'informaticien et donc tout ce qui touche aux réels, j'ai oublié depuis bien longtemps.

TL;DR:

1) Avec le temps on peut y arriver 2) Trouver les bons exemples/contre-exemples.

Ma première raison pour dire oui se base sur mon expérience en stage cet été. J'ai travaillé trois mois sur un algorithme dont la compréhension et sa preuve de correction était incompréhensible (voir fausse). Le travail a donc majoritairement été de refaire le travail du chercheur et de comprendre comment il en est arrivé là. Même si au départ je ne comprenais rien à son algorithme (d'autant plus que le sujet était complètement nouveau), au bout de deux semaines (oui quand même), j'avais assez d'intuition pour comprendre son algorithme et l'expliquer. Quand on a le temps, on peut chercher les exemples contre-exemples et c'est ce qui m'a permis de me forger une intuition. Ce qui aboutit à mon second argument.

La deuxième raison pour laquelle je pense que c'est possible, c'est parce que finalement ce qu'on voit dans un papier de recherche et/ou dans un cours n'est en général que la partie visible de l'iceberg. Beaucoup de gens s'accorderont à dire que faire de la recherche c'est comme explorer un arbre. On parcourt des branches, on se rend compte qu'on a faut et donc on revient en arrière pour en explorer une autre. On repète sans cesse ce backtracking jusqu'à trouver une branche qui fonctionne.

Le problème c'est que dans un article de recherche, on ne va pas s'amuser (sauf cas précis) à retranscrire notre parcours sinueux, mais on va seulement indiquer la branche principale qui a fonctionné. Seulement, en faisant ça, on cache beaucoup d'éléments, qui pour une majorité d'entre eux seront inutiles au lecteur.

Cependant, ce qui est le plus intéressant dans les articles de recherche que j'ai pu lire, ce n'est certainement pas la réponse à une question, i.e le théorème et sa preuve, mais plutôt le chemin que les auteurs parcourent pour atteindre leur but.

Si je raconte ça, c'est justement pour en venir au point suivant : le chemin parcouru pour aller jusqu'au théorème est jonché de définitions et de lemmes. Et je pense que finalement si on veut avoir une intuition sur un théorème, ce n'est pas l'énoncé qui est important, mais les définitions liés à ce théorème.

Et donc pour "intuiter" un résultat, je me concentre avant tout sur les définitions : Quelles sont les motivations de l'auteur pour introduire cette définition ?

Et à mon avis, bien comprendre une définition, il faut seulement trouver les bons exemples et contre-exemples. Ca peut demander du temps mais c'est toujours faisable. Et c'est à mon avis ce qui manque de beaucoup de papiers de recherche. C'est qu'on nous pose une définition sans exemple. Sans expliquer pourquoi si on change un élément dans la définition ça ne fonctionne pas.

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1) Avec le temps on peut y arriver 2) Trouver les bons exemples/contre-exemples.

Mais du coup, c'est exactement le contraire de l'intuition que tu décris. L'intuition réfère à la compréhension immédiate (à opposer à ton point 1) et sans nécessité de raisonnement logique (à opposer à ton point 2). Ça revient à ce que je disais, tu ne parles là que d'une intuition illusoire qui n'est qu'une prise d'habitude.

I don’t mind that you think slowly, but I do mind that you are publishing faster. — W. Pauli

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1) Avec le temps on peut y arriver 2) Trouver les bons exemples/contre-exemples.

Mais du coup, c'est exactement le contraire de l'intuition que tu décris. L'intuition réfère à la compréhension immédiate (à opposer à ton point 1) et sans nécessité de raisonnement logique (à opposer à ton point 2). Ça revient à ce que je disais, tu ne parles là que d'une intuition illusoire qui n'est qu'une prise d'habitude.

adri1

Dans ce cas là tu peux aller à l'extrême et dire que personne n'aura jamais d'intuition. Si je présente la théorie des ensembles à un gamin de 12 ans, je pari qu'il ne comprendra pas immédiatement.

En fait je pense qu'il y a une petite confusion. Quand on a de l'intuition, on a de la compréhension immédiate. Ca n'empêche que l'intuition, on peut se la forger. Et c'est ce dont je parle.

Pour reprendre mon exemple, lors de mon stage, à la fin, on s'amusait avec mon maître de stage à se lancer des défis sur la véracité de certaines propositions. Il se trouvait que je gagnais tous le temps, et en général, la réponse me venait immédiatement. Mais si on m'avait posé les mêmes questions au début de mon stage, cela aurait été bien différent…

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