Enseigner les Mathématiques

Le problème, en parlant d'intuition, ça ne donne pas de solutions. Ca fait un peu le truc magique, " on l'a ou on l'a pas".

Je dirai qu'en maths, c'est la même chose. Quand on te dit par exemple : on définit le nombre dérivé comme la limite de f(x+h) - f(x)..... je pense que rien qu'avec ça, on aura du mal à en avoir une image intuitive. On ne peut l'avoir que si on est déjà passé par les notions plus visuelles de pente d'une droite, de tangente à une courbe… et même quand on passe sur des surfaces plus exotiques, on garde en tête ces images, même si c'est impossible à dessiner.

Le message de looping vient de me rappeler que j'avais une question à propos de l'intuition : c'est quoi ?

Faire une analogie avec un truc connu et plus simple ? Faire un dessin ?

Autrement dit, comment développer son intuition sur un sujet et comment transmettre cette intuition à autrui ?

Développer son intuition c'est quelque chose de pas évident. C'est comme développer sa créativité, ça reste de l'ordre du non technique. Il n'empêche, il me paraît évident qu'une bonne compréhension du sujet aide à cela.

Qu'est-ce que c'est que l'intuition ? Ce qui permet de dire par exemple en un coup d'oeil si on pense qu'une preuve va aboutir ou si un énoncé est vrai. On peut se tromper, mais une bonne intuition est quelque chose de très utile (est-il nécessaire de dire pourquoi ?).

Du coup, ce qui permettrait de développer son intuition, c'est une bon connaissance technique du sujet ?

Par exemple, que ferais-tu devant une démonstration que tu comprends mais que tu serais incapable de retrouver sans l'apprendre plus ou moins par coeur ?

J'ai peu d'expérience en la matière, mais il me semble que résumer est un bon début. Ca permet d'avoir une vision globale sur la question, de se concentrer sur le raisonnement plutôt que sur les détails techniques.

Le tuto de Mewtwo sur la psychologie cognitive est intéressant. Si je résume bien :
Le cerveau fonctionne par mise en relation des connaissances que tu as. En gros, tes connaissances sont enregistrées non pas sous forme de cases mémoires séparées, mais sous forme de graphe. Une notion se retient et se retrouve plus facilement si elle est en relation avec beaucoup d'autres choses.
Pour moi, l'intuition, ce serait ça : quand tu es confronté à une nouvelle notion, tu vas essayer de la ranger dans le graphe, donc trouver avec quoi tu la mets en relation. Si tu trouves, tu auras l'impression que cette notion est facile, et que tu la comprends bien parce que tu vas la manipuler par analogie avec les autres notions en rapport.
Si elle t'est présentée de manière non pédagogique (par exemple : "soit E un ensemble et * une opération interne...."), il te sera difficile de t'approprier cette définition jusqu'à ce que tu la mettes en relation avec les nombres et les additions/multiplications.

Donc pour moi l'intuition c'est deux choses : des connaissances antérieures (les prérequis) et la bonne compréhension de ces prérequis (les avoir mis sous forme d'un graphe bien fourni et non pas des connaissances séparées). EDIT : je suis pas satisfait par ce dernier paragraphe mais j'ai pas encore d'idées claires sur le sujet

C'est chaud du coup : un cours, pour être efficace, doit être adapté aux connaissances des lecteurs. C'est peut-être là tout le génie de l'auteur : faire des analogies compréhensibles par le plus grand nombre.

Un petit conseil pour développer l'intuition d'un concept : bien mettre en évidence les idées générales et organiser le cours autour de ces idées générales. Ça a l'air tout con, mais cela permet de faire comprendre un concept facilement, là où l'utilisation du formalisme demande d'intégrer/synthétiser/relier un grand nombre d'informations et de détails pour comprendre le concept.

Le meilleur moyen pour extraire ces idées générales est de résumer et synthétiser le cours : cela permet d'éliminer quelques détails relativement peu importants. Je ne sais pas à quel point cela peut s'appliquer facilement en mathématique, mais dans les autres sciences, cela me semble marcher à merveille.

Notons egalement que triturer la definition d'un objet de maniere mecanique, c'est egalement le meilleur moyen de developper son intuition de l'objet, trouver un autre angle de vue qui permette de mieux comprendre ou de realiser certaines choses vis a vis de cet objet.

Souvent, des definitions formelles d'objets mathematiques ne sont pas tres parlantes. J'identifie au moins deux raisons a cela:

• elle ne nous est pas tres parlante car elle est le reflet de celui qui l'a concu et est certainement en ce sens emprunte d'un certain point de vue qui n'est pas le premier que l'on a, individuellement¹. Les limites a cela est qu'en general pour un meme objet, on a plusieurs definitions en fonction du domaine.
• la definition n'est pas faite pour donner une intuition ou un point de vue mais etre facilement manipulable. Facilement manipulable veut dire que les gens qui ont travailles sur cet objet se sont apercus qu'une representation d'un objet etait plus approprie par rapport a une autre et donc au fil du temps, la definition a quelque peu evoluee pour trouver la forme la plus adaptee. Or, en decouvrant l'objet et donc sa definition nous n'avons en general pas le recul necessaire pour savoir qu'il s'agit de la definition la plus adaptee. Cela rejoint le premier point en disant qu'une definition canonique peut varier selon les domaines car l'une est plus adaptee dans un domaine alors que l'autre sera plus adaptee dans un autre domaine.

C'est d'ailleurs tout le travail irremplacable du professeur que de pallier a cet absence de recul necessaire et de prodiguer des definitions ou point de vue alternatifs mais plus efficaces pour faire comprendre l'objet et la necessite d'une telle definition.

On voit aussi l'interet de manipuler les definitions de maniere mecanique: si l'on fait de la recherche et que l'on aborde une definition dans un livre divers, il n'est pas dit que la forme donnee soit celle qui soit la plus adaptee a nos besoins, le livre etant ecrit pour donner un cours sur un sujet particulier et les connaissances que l'on a de ce sujet.

C'est d'ailleurs un argument repris par Terence Tao dans What Is Good Mathematics.

Je plussoie Höd, même son troll !

En prépa, en particulier, il y a pleins de situations dans lesquelles on sent que quelque chose est vrai, ou faux parce que ça pète à un endroit (analyse), où alors qu'en devinant le morphisme qu'on nous donne, on arrive à construire celui qui fait à peu près la même chose. Je dirais même que les 3/4 des exos qu'on fait sont fait sur des automatismes, et qu'on se ramène presque toujours à ces exercices pour ceux que l'on fait en colle, en TD, ou en DS.

Niveau intuition, c'est plus de l'habitude à ces situations et les pièges qu'autre chose (on ne va pas non plus très loin), donc assez éloigné en soit une fois que le sujet est travaillé.

En revanche, dans mon cas, mon prof n'hésitait pas à passer pas mal de temps à bien présenter les points délicats en faisant pas mal d'analogie, de "c'est comme si", d'exemples qu'ils généralisent, en insistant VRAIMENT sur 2 ou 3 notions par cours, donc ça rejoint les avis précédents pour l'enseignement.

Il est parfaitement vrai que travailler les définitions aide beaucoup à la compréhension. J'ai même envie de dire que c'est naturel.

Là où le post de Höd est intéressant, c'est sur le problème du langage. Le langage mathématique sert à être non ambigu mais n'assure en rien une bonne compréhension du sujet exprimé. C'est aussi sur cette "dualité" des langages employés (mathématique et français par exemple) qu'il faut travailler.

Le tuto de Mewtow, très complet sur la pédagogie, n'aborde pas ce point (et d'ailleurs, c'est normal, c'est particulier aux maths). Je pense qu'il serait intéressant de discuter de la manière de gérer les deux langages.

Je n'ai pas tout lu, mais j'ai peut-être quelques éléments à apporter.

Je connais un élève au collège, qui a complètement décroché, à qui ma mère a donné des petits cours de maths tous les jours pendant deux semaines pour rattraper le niveau. En fait, ma mère m'a dit qu'au bout de quelques jours, il a enfin eu un déclic et a compris. Donc je pense qu'il y a vraiment un blocage de la part de certains élèves.

J'ai aussi eu des blocages parfois sur quelques points du programme pendant le lycée. Et en fait, je me rends compte que j'ai réagi face à ces blocages en me disant: "Cherche pas à comprendre, admets le, et tu comprendras plus tard".

Donc c'est peut être aussi la manière d'accompagner des élèves qui bloque qui devrait changer. Les profs devraient peut-être dire parfois aux élèves de pas chercher à comprendre, d'appliquer la méthode, et ils auront des plutôt bons résultats.

Après je me trompe peut-être…

Quelqu'un a dit (je ne sais plus qui) que les maths, c'était se ramener à des problèmes déjà connus, et appliquer une méthode. Je suis parfaitement d'accord sur ce point! Le bac cette année par exemple proposait pour l'exercice de spécialité aucune démonstration, juste de l'application pure et dure, avec une méthode qu'on a vu et revu en classe (on aurait quasiment pu réduire l'exercice à deux question au lieu d'une dizaine).

Quelqu'un a dit (je ne sais plus qui) que les maths, c'était se ramener à des problèmes déjà connus, et appliquer une méthode. Je suis parfaitement d'accord sur ce point! Le bac cette année par exemple proposait pour l'exercice de spécialité aucune démonstration, juste de l'application pure et dure, avec une méthode qu'on a vu et revu en classe (on aurait quasiment pu réduire l'exercice à deux question au lieu d'une dizaine).

Sauf que les maths qu'on fait au collège/lycée sont à des années lumières (jeu de mots pour qui comprendra) de ce qu'on fait vraiment en maths.

Hier avec Saroupille on a eu la remarque intéressante suivante (d'après une vidéo d'Alain Connes) :

Quand un matheux lit un livre, il ne le lit pas toujours dans l'ordre des pages proposé.

Quand il voit un résultat intéressant, il ne lit pas tout de suite la démonstration. Il passe quelques temps (quelques heures par exemple) à réfléchir sur le résultat, à se demander ce qu'il signifie.

Ensuite vient le temps de la démonstration, il parcourt rapidement les pages de démo et il cherche une seule chose. Pas les détails technique mais l'idée, la chose qui fait que c'est possible, qu'il y a ce déclic dans la démonstration du résultat. Ensuite vient le temps des détails techniques, mais le gros de la démonstration tient souvent en quelques mots.

C'est quelque chose qu'on n'apprend pas aux élèves au collège, lycée ou même prépa. On insiste jamais, ou trop rarement, sur cet aspect des maths. Celui où il faut comprendre par soi même et, surtout, repérer les éléments importants (qui ne sont pas mis en valeurs dans une démonstration puisque c'est un travail sous-entendu).

Oui je suis assez d'accord avec tout ce que tu dis, et j'ai vraiment hâte d'en apprendre beaucoup plus.

Et pour les démonstrations c'est tellement vrai : j'ai pris l'habitude d'apprendre les miennes en deux minutes en me demandant ce qui est important de retenir, et en refaisant les détails après sur la copie.

Après ce qui est dommage c'est qu'on ne nous fait pas assez démontrer en classe

Mon expérience perso en prépa me dit le contraire. Je n'y ai connu que deux profs de maths donc je ne peux pas faire de généralité, mais dans les preuves les deux insistaient toujours sur la ou les idées principales et expliquaient la preuve "avec les mains" avant de passer à la démonstration proprement dite. Quand est venu le temps des révisions pour les concours, on nous disait bien de nous focaliser sur la compréhension des idées principales des preuves plutôt que sur l'apprentissage des calculs (de toute façon à moins d'avoir une mémoire absolue, apprendre toutes les preuves au programme de A à Z c'est mission impossible) Au lycée ou au collège c'est sûr que cet aspect des choses est absent, mais il faut faire attention si on ne parle pas à un public averti. Il y a aussi des choses où on a l'impression que ça marche, mais qui coincent lorsqu'on essaie de les formaliser, alors les élèves risqueraient d'écrire n'importe quoi.

En prépa la preuve la plus "compliquée" (i.e. riche en arguments et idées exotiques) c'est quoi ? Je pense pas me mouiller en disant qu'on est assez loin de ce qui se fait dans des articles.

Holosmos : en sup, c'est certainement la preuve de l'équivalent de Stirling, et en spé, si on compte pas les exos, ca devait être soit que $(cos kt)_{k \in \mathbb{N}}$ forme une suite totale pour l'espace vect des fonctions qui convient, périodique, etc, soit Cauchy-Lipschitz.

Ça va pas très loin en algèbre, donc globalement tu as raison.

En revanche, tous les articles n'ont pas forcément une énorme difficulté en math (j'avais un article qui montrait l'effet Casimir en partant de quelques considérations, et au final les 3/4 se font avec des techniques vu en prepa, même si le contenu physique bloque plus là dessus).

De plus, si l'on doit parler d'enseignement des maths, la question n'est pas la difficulté, parce qu'un excellent prof arrivera souvent à rendre cette difficulté caduque pour donner une bonne compréhension du sujet. Je reste d'accord qu'il ne s'agit pas nécessairement de maitriser la technique.

_{EDIT : mon message était illisible. o.O}

En revanche, tous les articles n'ont pas forcément une énorme difficulté en math

Je ne parle pas du tout de difficultés techniques mais de difficultés en créativité et compréhension.

Certains résultats se démontrent facilement, mais demande pas mal d'effort pour comprendre vraiment ce qu'il se passe dans la preuve.

Je ne suis pas totalement d'accord avec toi, Holosmos, pour ce qui est des détails. Dans les articles, la tendance est à la rédaction la plus compacte possible. C'est positif parce que cela met en valeur les éléments-clés. Mais je n'aime pas cela car souvent, cela rend les démonstrations approximatives et/ou incomplètes.

La plupart du temps, les auteurs ont une démonstration complète dans la tête, avec tous les détails. Mais pour des raisons de calendrier, mais surtout de paresse, ils ne prennent pas le temps de rédiger des démonstrations précises. Les idées sont cruciales, bien sûr, mais il ne faut pas négliger le côté rédactionnel et convainquant d'une démonstration.

Si une preuve n'est pas assez précise ou trop vague, elle perd de sa valeur. Et trouver un juste milieu est extrêmement difficile.

Les idées sont cruciales, bien sûr, mais il ne faut pas négliger le côté rédactionnel et convainquant d'une démonstration.

Si une preuve n'est pas assez précise ou trop vague, elle perd de sa valeur. Et trouver un juste milieu est extrêmement difficile.

Ce n'est pas du tout en contradiction avec ce que j'ai dit.

Les détails techniques ont toute leur importance, ils sont essentiels dans une bonne démonstration. Mais il n'empêche que ce que retiendra en priorité le mathématicien ce ne sont pas les détails techniques mais les idées novatrices.

Je ne suis pas totalement d'accord avec toi, Holosmos, pour ce qui est des détails. Dans les articles, la tendance est à la rédaction la plus compacte possible. C'est positif parce que cela met en valeur les éléments-clés. Mais je n'aime pas cela car souvent, cela rend les démonstrations approximatives et/ou incomplètes.

Cela depend de ce que tu lis. Dans les articles dedies aux conferences, la limite du nombre de pages fait que l'on rogne effectivement sur la presentation, l'accompagnement en gageant que le lecteur puisse trouver par lui meme les explications. Il y a effectivement une contrainte de compacite qui est assez souvent dommageable a la comprehension ou au transfert de raisonnement au dela d'un simple resultat.

Maintenant, dans les revues c'est souvent different car tu peux avoir 30, 40 pages pour un article, si ce n'est plus, encore plus pour les chapitres d'un livre collaboratif ! Je lisais cet article hier par exemple et il y a tout de meme 8 pages de rappels basiques incluant ce qu'est l'espace de Schwartz, la transforme de Fourier et j'en passe. Le fait de retrouver des phrases comme 'i.e. the action of the distribution $\omega$ on the function $f$' est vraiment la pour dire sous quel angle l'auteur aborde ou voit l'objet qu'il manipule.
Un autre exemple serait celui-ci ou le sujet est incroyable technique mais tellement bien explique que tout coule de source meme avec une certaine compacite des arguments.

De ma petite expérience, je n'ai compris que cette année de l'importance des définitions en mathématiques. Les théorèmes vont rarement te donner de l'intuition, plus les confirmer, c'est souvent les définitions en elles-mêmes qui aident à la compréhension je trouve.

Hors, souvent quand on vient avec une définition, on a une idée en tête, une motivation. Ce que je reproche pour beaucoup de papiers, c'est qu'ils viennent parfois sans présenter la motivation. Par exemple les auteurs arrivent avec leur algorithme, puis enchaînent les lemmes/théorèmes pour prouver la correction/terminaison de l'algorithme. Puis à la fin, tu as un petit exemple pour montrer que ça marche.

Le problème dans cette démarche, c'est que moi, en temps que lecteur, je préférerais avoir l'exemple avant, comprendre pourquoi on a pas d'algorithme qui fonctionnent dessus, et qu'est-ce qui fait que l'algorithme fonctionne. Et du coup, en lisant l'algorithme et les preuves on aura l'intuition derrière.

Et pour les définitions, je trouve que c'est la même chose. Si on est guidé par un exemple (ou plusieurs) qui motivent l'introduction de ces définitions, c'est beaucoup plus facile de comprendre ou l'auteur veut nous emmener.

Maintenant, ce n'est pas toujours le cas. Le lecteur peut avoir déjà une intuition, et il va juste chercher dans un livre/cours la preuve d'un théorème ou d'un propriété, il n'aura pas besoin d'être motivé (ce qui est rarement le cas dans un article de recherche).