Ni injective, ni surjective, ni bijective

Bonjour à tous,

Si la fonction suivante n’est pas injective, surjective ou bijective, quel type d’application peut-elle bien être ?

Faut-il obligatoirement préciser les ensembles pour qu’elle se case quelque part ?

Bijective :

Surjective :

Merci

Si la fonction suivante n’est pas injective, surjective ou bijective, quel type d’application peut-elle bien être ?

Aucune des trois ? Tu n’es pas obligé d’avoir l’une de ces trois qualités.

D’ailleurs la plupart du temps, on a aucune de ces propriétés. Elles sont difficiles à obtenir naturellement.

Faut-il obligatoirement préciser les ensembles pour qu’elle se case quelque part ?

Le domaine et le codomaine ont évidemment une grande importance dans la qualification d’une application.

Par exemple : si le domaine est réduit à un point, l’application est toujours injective ; et si le codomaine est défini comme étant l’image du domaine, alors l’application est toujours surjective.

Je pense qu’il demande s’il y a un nom particulier en dehors de application. Pour $x \mapsto x^2$ je dirais application polynômiale par exemple.

Bien, cela me rassure. Mais je ne vois pas l’intérêt de préciser en général qu’il existe ces trois qualités d’applications.

Elle peut être polynomiale et injective ou surjective ou rien des deux suivant le domaine et le codomaine précisé. Je pensais qu’il existait exclusivement des applications injectives, surjectives et bijectives et que tout était catégorisable dans ces trois applications.

Au final, je ne vois pas le grand intérêt de préciser la nature de ces trois qualités d’applications.

Comme déjà dit, il y a énormément de fonctions qui ne sont ni injective, ni surjective, ni bijective.

Je vais même reformuler. Il y a en fait 2 propriétés :

• f est elle injective ? oui ou non.

• f est elle surjective ? oui ou non.

Et c’est tout. Un fonction peut parfaitement être à la fois injective et surjective, ce n’est pas contradictoire. Et d’ailleurs, dans ce cas, on dit qu’elle est bijective.

L’intérêt de ces définitions ? Mettre un nom sur une qualité, ça aide toujours. Si tu achètes un ordinateur, et qu’on te dit qu’il a un port USB2 ou un port USB3, le nom USB2 ou USB3 permet de résumer en un seul mot différentes propriétés. C’est plus simple de dire port USB3 que port 5 broches superSpeed … Idem, c’est plus simple de dire ’injective’, ’surjective’ ou ’bijective’ plutôt que rappeler ce qui se cache derrière. Surtout que l’étymologie de ces 3 termes est très explicite.

Et les fonctions bijectives sont très sympathiques… Une bijection, c’est une ’table de correspondance’.

Ces notions ont un intérêt tout particulier en dénombrement.

Tu peux retrouver le cardinal d’un ensemble fini en montrant qu’il est en bijection avec un ensemble de cardinal connu. Tu peux aussi facilement, pour deux ensembles fini, retrouver le nombre d’injection et de surjection (un peu plus difficile) de l’un dans l’autre. Il y a aussi les permutations, qui ont un rôle en théorie des groupes (permutations circulaires par exemple!).

Et je ne te parle pas de la combinatoire…

Bref, même si ça semble un peu flou ici, ce sont des notions qui servent beaucoup hors du cadre de l’analyse pure et dure.

Qu’est-ce qui te fait dire ça ? Est-ce que tu as eu en cours un exercice demandant de classer certaines fonctions suivant leur injectivité, surjectivité ou bijectivité ? Si oui c’était juste un exercice.

L’intérêt de ces définitions ? Mettre un nom sur une qualité, ça aide toujours. Si tu achètes un ordinateur, et qu’on te dit qu’il a un port USB2 ou un port USB3, le nom USB2 ou USB3 permet de résumer en un seul mot différentes propriétés. C’est plus simple de dire port USB3 que port 5 broches superSpeed … Idem, c’est plus simple de dire ’injective’, ’surjective’ ou ’bijective’ plutôt que rappeler ce qui se cache derrière. Surtout que l’étymologie de ces 3 termes est très explicite. elegance

Dans ce que cas pourquoi ne pas étendre les définitions à ceux qui ne font pas parti de ces 3 types

Bref, même si ça semble un peu flou ici, ce sont des notions qui servent beaucoup hors du cadre de l’analyse pure et dure. Ozmox

C’est au final ce que je constate.

Qu’est-ce qui te fait dire ça ? Est-ce que tu as eu en cours un exercice demandant de classer certaines fonctions suivant leur injectivité, surjectivité ou bijectivité ? Si oui c’était juste un exercice. blo yhg

Non en fait je constate dans ce que je lis qui est en rapport avec l’analyse qu’ils abordent systématiquement la notion de ces trois applications à croire qu’il fait sous entendre qu’il faut catégoriser les fonctions dans ces trois applications.

Je ne comprends pas. Être injectif, ou surjectif, ou bijectif, c’est une propriété qu’une application peut posséder ou non. Et il serait étrange de qualifier de surjective une application qui ne l’est pas.

C’est un peu comme pour un triangle : il peut être rectangle, ou isocèle, ou équilatéral… ou alors rien de tout ça. Bien sûr, un triangle peut cumuler plusieurs de ces propriétés. Mais s’il n’en a aucune, on ne précise pas (bon, en fait, si, on parle parfois de triangle quelconque, mais dans ce cas c’est pour préciser que le triangle ne doit pas être particulier).

Je veux dire par là, pourquoi ne pas étendre les nomenclatures. On a bien nommé un triangle quelconque un triangle quelconque car il n’a aucune propriété particulièrement frappante. De même, pourquoi ne pas nommer les applications qui n’ont pas ces 3 propriétés… Mais bon, je me rends compte que c’est dérisoire…

On peut très bien dire «application quelconque».

Je dirais que l’usage de l’expression « triangle quelconque » peut se justifier par un argument didactique. La géométrie du triangle est vue au collège ce souvent à ce moment-là que les élèves découvrent ce qu’est un raisonnement mathématique et manipulent des figures géométriques abstraites. Cet exercice étant de nature difficile, l’introduction d’un vocabulaire un peu redondant permet de bien spécifier le contexte de travail : le triangle étudié n’a rien de spécial, il est quelconque. Alors bien sûr, un triangle pris au hasard est a priori quelconque¹ donc mathématiquement, l’ajout de l’adjectif « quelconque » n’est pas très utile, mais il aide parfois les matheux en herbe à ne pas tomber dans des pièges.

Ça serait rigolo d’essayer de trouver une preuve de ça au sens de la théorie de la mesure. Mais il faut choisir un espace mesuré, et ça demande d’y méditer un peu… Mais je suis sûr que ça peut être intéressant

Une fonction de tirage de trois points ? Genre $f: [0,1]\to \mathbf (R^2)^3$

On n’a pas forcément besoin de toute une mesure, il suffit pour savoir quelles parties sont négligeables de donner une structure de variété lisse à l’espace des triangles (modulo une similitude ?). Sûrement que les différentes paramétrisations des triangles donnent la même structure de variété lisse. Ça semble raisonnable, il faudrait trouver une explication à ça si c’est vrai !

Pourquoi vouloir une variété lisse ? Je vois pas le rapport

On peut définir dessus ce qu’est une partie mesurable et une partie négligeable de manière canonique, sans forcément avoir toute une mesure. Ici ce sera sûrement arbitraire de définir une mesure sur l’espace des triangles (pourquoi vouloir faire ça ?), mais on a une structure de variété lisse canonique qui nous donne les parties négligeables (ça donne du sens à l’affirmation « un triangle arbitraire n’est presque jamais rectangle »).

Ça fait un moment que je n’ai pas fait de vrai math, mais j’aurai bien envie de procéder ainsi :

On considère la ligne (0,0) -> (1,0) qui relie les points A et B. Deux triangles homothétiques sont équivalents, donc trouver tous les triangles non quelconques créables à partir de AB permet de tous les trouver (suffit de faire une rotation, translation homothétie qui va bien).

Il n’y a que deux points de l’espace qui permettent d’avoir un triangle équilatéral.

Pour les triangles isocèles, deux choix. Soit AC (ou BC) fait la même longueur que AB, soit AC et BC font la même longueur. AC = AB impose de placer C sur un cercle de rayon 1 centré en A. Idem pour BC = AB. Le cas AC = BC est par définition la médiatrice de AB, donc une droite. Les points comptés en double, ou comptés alors qu’il ne faut pas (ceux qui donnent des triangles nuls) sont de mesure nul (car un point), donc on s’en fout.

Pour le triangle rectangle, c’est pareil : soit ABC (resp. BAC) est droit, soit ACB l’est. Dans le premier cas, le point C doit se trouver sur la droite perpendiculaire à AB passant par B (resp. A), donc les solutions sont une droite. Pour ACB, AB est alors le côté opposé du triangle rectangle, qui doit être diamètre d’un cercle. Donc C est sur un cercle de diamètre AB ; la solution des C possibles est un cercle.

Au final, l’ensemble des solutions permettant d’avoir un triangle non-quelconque est l’union de deux points, 2 cercles, une droite, 2 droites et un cercle. Sauf erreur de ma part, la mesure de 3 cercles et 3 droites dans le plan usuel est de nulle, ce qui conclut.

J’ai la confuse impression qu’il manque quelque chose. N’hésitez pas à me le dire si c’est le cas.

Il y a une expression que je n’aime pas, c’est triangle non-quelconque. Je préfère triangle particulier, plutôt que non-quelconque.

Il y a l’ensemble des triangles. Qu’on appelle aussi les triangles quelconques. Et parmi eux, il y a des triangles rectangles,isocèles ou équilatéraux.

Si on prend Q l’ensemble des triangles Quelconques, et I l’ensemble des triangles isocèles, l’expression ’triangle non-quelconque’ sous-entend que I et Q sont disjoints, alors que selon moi I est inclus dans Q.

Quand on dit ; Soit ABC un triangle quelconque, prouver que … , on parle en fait de tous les triangles. On n’exclut pas les triangles équilatéraux, isocèles ou rectangles. Ce qu’on va prouver pour notre triangle ’quelconque’ sera vrai pour tous les triangles, y compris les triangles particuliers. Et ce sera vrai pas seulement par prolongement par continuité.

D’ailleurs, dans le même esprit, un triangle équilatéral est aussi un triangle isocèle.

On peut parfaitement avoir un exercice qui dit ; Soit ABC un triangle isocèle quelconque (donc a priori pas équilatéral, pas rectangle )…

Et du coup, quand tu comptabilises des droites, des cercles, et des points, les points n’ont pas lieu d’être. Ils sont à l’intersection des autres tracés.

Si on prend Q l’ensemble des triangles Quelconques, et I l’ensemble des triangles isocèles, l’expression ’triangle non-quelconque’ sous-entend que I et Q sont disjoints, alors que selon moi I est inclus dans Q.

Merci de penser comme moi. <3 Je me souviens de mon désespoir quand dans Questions Pour Un Champion, ils ont demandé comment on appelait un triangle ni rectangle, ni isocèle, ni équilatéral et que la réponse était quelconque…

Oui enfin une structure lisse c’est quand même bien plus difficile à donner qu’une mesure.

D’ailleurs il n’y a probablement pas de structure lisse canonique, pour peux que ça soit un objet à $6$-dimensions, on est pas à l’abri de structures exotiques.