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Introduction aux fonctions

Un bref tour d'horizon des fonctions en mathématiques.

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Vous trouvez que les maths, ça ne bouge pas assez ?

Avec les fonctions, c'est terminé. Les nombres, les ensembles ou les figures géométriques, tous ces objets mathématiques que vous connaissez déjà vont se mettre en mouvement. Les fonctions sont en quelque sorte des machines qui transforment les objets. Grâce à elles les mathématiques passent à la vitesse supérieure. ;)

Que vous n'ayez jamais entendu parler de fonctions, que vous vouliez réviser ce que vous avez vu en cours, ou que vous soyez là par simple curiosité, ce tuto est fait pour vous ! Nous allons partir de zéro et tout expliquer simplement, il n'y a aucune raison d'avoir peur : ce cours est accessible à tous, quel que soit votre niveau de départ.

Les maths en mouvement

  1. Qu'est-ce qu'une fonction ?

    1. En avant les machines !

    2. Soyons précis

    3. Écriture symbolique

  2. Fonctions numériques

    1. Le discret et le continu

    2. Représentation graphique

    3. Avec ou sans formule

  3. Fonctions géométriques

    1. Représentation des fonctions

    2. Tiroirs à fonctions

    3. Descartes s'en mêle

  4. Fonctions de fonctions

    1. Fonctions branchées

    2. Opérations de fonctions

    3. Cumuls et variations



Voilà, notre introduction aux fonctions s'achève ici. Bien entendu, ce n'est qu'un début, le monde des fonctions est vaste et il vous reste encore une multitudes de choses à découvrir au fil de votre avancée dans les mathématiques !

29 commentaires

Un régal.

Beaucoup de notions que je n'ai vraiment comprises que trop tard (Maths Sup en fait…) alors que je ne les comprenais que superficiellement avant cela, sont abordées dans ce cours : pourtant abordable pour n'importe qui.

Tout est expliqué très simplement et tout naturellement, ce qui rend le cours très facile à lire. Et devrait être lu par tout élève du secondaire. Du très très bon travail, félicitations !

Édité

Happiness is a warm puppy

+8 -0

C'est impressionnant de clarté. Rien qu'à l'introduction, on a l'impression que les maths prennent vie au lieu de ne se résumer qu'à des formules compliquées sur un coin de tableau.

Pour ma part, je connaissais déjà l'essentiel de ce qui est écrit, mais j'ai mis tellement d'années à tout comprendre que j'envie la personne qui découvrira tout ça pour la première fois et verra que les maths c'est pas si obscur que ça quand c'est bien expliqué.

“Programming today is a race between software engineers striving to build bigger and better idiot-proof programs, and the Universe trying to produce bigger and better idiots. So far, the Universe is winning.” – Rich Cook

+4 -0

Oh la vache. J'en parlerai peut-être dans ma classe de première à la rentrée. Si j'avais trouvé ça en année de troisième, sachant que le chapitre des fonctions a été LE chapitre péniblement compréhensible de l'année, et bien… eh eh, je ne peux même pas imaginer à quel point mon année scolaire de mathématiques aurait été plus agréable (non pas qu'elle ait été désagréable, mais j'ai dû m'accrocher pour ne pas… tomber, ce qui n'aurait pas été le cas, ou beaucoup moins, si ce cours existait à l'époque) !

Édité

+2 -0

Et voilà comment, en un mini-tutoriel d'une heure de lecture, on aurait pu m'éviter le dégoût des maths au lycée. Ce tutoriel est vraiment excellent, je reste même sur ma faim ! On en veut encore :-)

+3 -1

Le tuto a l'air pas mal. Il faudrait peut-être apporter une légère correction à la fin du chapitre 1.4 :

Des transformations équivalentes existent pour les fonctions continues et se nomment la dérivée et l'intégrale.

Il vaudrait peut-être mieux utiliser "fonctions d'une variable réelle" ou "fonctions qui prennent des réels en entrée" au lieu de "fonctions continues" (même si c'est de la vulgarisation).

Édité

+0 -0

Je n'ai pas encore lu le tutoriel en entier, mais je tenais à te signaler que la transformation dite "conforme" dans l'image (I.3 "Tiroirs à fonctions") n'est pas conforme : par exemple on peut voir que un œil circulaire de Clem devient elliptique après transformation.

De plus ta formulation ne laisse pas apparaître le fait que les similitudes sont des transformations conformes.

Je peux te générer une vraie transformation conforme (différente d'une similitude) de Clem si besoin :) .

Édité

+0 -0

Un tutoriel remarquablement bien construit et bien écrit, je te tire réellement mon chat-peau vert.

C'est extrêmement difficile de vulgariser comme tu le fais tout en écrivant des maths sérieuses et solides et tu t'en sors très bien. Du beau boulot, je recommanderai sans hésiter ce tutoriel à ceux qui ont envie d'en savoir un peu plus.

C'était vraiment plaisant à lire. Comme quelqu'un l'a dit au dessus, ce genre de tuto, qui se lit facilement et est à la fois très instructif, aurait été très utile pour l'élève de troisième que j'étais…

Bon aujourd'hui je connais globalement les notions évoquées, à part les fonctions géométriques. D'ailleurs, j'avais jamais déduis de moi-même qu'une suite n'était en réalité qu'une fonction dont l'entrée est définie sur $\mathbb{N}$

+0 -0

Selon Wikipédia:

  • La fonction [est] définie par un ensemble de départ E, un ensemble d'arrivée F et une relation de E vers F dans laquelle chaque élément de E possède au plus une image ; l'ensemble des éléments de E possédant une image est alors appelé domaine de définition de la fonction ;
  • L'application [est] définie par un ensemble de départ E, un ensemble d'arrivée F et une relation de E vers F dans laquelle chaque élément de E possède une image et une seule (une application est donc une fonction dont le domaine de définition est égal à la source).

https://fr.wikipedia.org/wiki/Application_%28math%C3%A9matiques%29#Fonction_et_application

C'est juste une histoire d'ensemble de définition. Dans la pratique, on utilise les deux termes (en tout cas pendant cette année de MPSI, le prof de maths disait qu'on se foutait un peu de la distinction, et il disait parfois l'un parfois l'autre)

Édité

+1 -0

Oui, bien sûr ! Si l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée contiennent tous les deux un nombre fini d'éléments, on peut même compter le nombre de fonctions qui existent. Et si au moins l'un des deux ensembles contient un nombre infini d'éléments, il y a une infinité de fonctions.

Pour reprendre les exemples de fonctions géométriques, dans le tutoriel on voit bien qu'il existe toutes sortes de telles fonctions. Prenons un exemple plus simple, et considérons l'ensemble des nombres entiers naturels (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …). Sur cet ensemble, on peut considérer la fonction $f:x\mapsto \frac x2$. Cette fonction est à valeurs dans l'ensemble des fractions. Mais ce n'est pas la seule : par exemple, la fonction $g: x\mapsto \frac{2x}{3}$ est également à valeurs dans l'ensemble des fractions.

Je t'ai donc exhibé deux fonctions différentes, qui ont le même ensemble de départ et le même ensemble d'arrivée. Et il y en a encore d'autres, ce qui montre bien qu'il peut exister plus d'une fonction entre deux ensemble — en fait, c'est toujours le cas dès que les ensembles contiennent plus d'un élément. :)

Édité

Oui, bien sûr ! Si l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée contiennent tous les deux un nombre fini d'éléments, on peut même compter le nombre de fonctions qui existent.

c_pages

J'ai voulu en rajouter parce que je trouve ça intéressant. On peut compter le nombre d'applications bijectives (i.e chaque élément de l'ensemble d'arrivée correspond à un unique élément de l'ensemble de départ et réciproquement) entre deux ensembles (finis !) de cardinal (de nombre d'élements) $n$: il existe $n!$ bijections du premier ensemble dans le 2e ensemble. Pour $n=6$, ça fait $6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2* soit $720$.

Édité

+0 -0

En effet, j'avais passé ce point sous silence pour avoir une réponse qui réponde réellement à la question.

Si vous comprenez bien comment on compte les bijections, la vraie question rigolote, c'est de dénombrer le nombre de fonctions qui existent entre deux ensembles. Ce n'est pas beaucoup plus compliqué, mais un peu quand même. Et je ne donne pas la réponse, parce que je ne la connais pas par cœur. :-°

Je sais que ça ne sera pas de tout repos, mais j'adore apprendre, j'adore les maths, j'adore la physique, j'adore comprendre le monde et ses mécanismes. D'où mon enthousiasme de rentrer dans un mois dans une classe où tout le monde partage le zeste goût du savoir et de l'apprentissage!

Bref, délire à part, étant donné que tu as fait MPSI, peux-tu me dire si nous abordons ces notions (bijections, applications…) en première année?

Un jour j'irai vivre en Théorie, car en théorie tout se passe bien.

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