Premières manipulations d'équations

Opérations réversibles

Les équations les plus simples à résoudre sont celles dans lesquelles l’inconnue ne subit que des transformations facilement réversibles. Pour comprendre ce que cela signifie, regardons l’équation suivante :

En algèbre rhétorique la même équation donnerait ceci : quel nombre donne 16 si on lui ajoute 5 ? Un peu de réflexion, permet de trouver la solution sans trop de problème : $x=11$, en effet, $11+5=16$.

Si cette équation est simple à résoudre, c’est parce que l’inconnue ne subit qu’une seule opération : une addition. Or l’addition est une opération qui permet de revenir en arrière facilement : il suffit de faire une soustraction. Pour trouver la solution, on a simplement fait $16-5=11$, car la soustraction est l’opération inverse de l’addition.

En fait, les quatre opérations de base sont facilement réversibles :

• une addition s’inverse avec une soustraction ;
• une soustraction s’inverse avec une addition ;
• une multiplication s’inverse avec une division ;
• une division s’inverse avec une multiplication.

Par conséquent, si dans une équation, l’inconnue ne subit que ces quatre opérations de base, alors la solution est facile à trouver. Regardons par exemple l’équation suivante :

L’inconnue $x$ subit successivement chacune des quatre opérations pour aboutir à 10. Cette équation peut se représenter par le schéma suivant.

Pour résoudre cette équation, il suffit alors de refaire le chemin à l’envers en partant du 10 et en inversant chacune des opérations.

Et voilà le travail ! L’équation est résolue : la solution est $x=6$. Si vous n’y croyez pas, remplacez le $x$ par 6 dans l’équation de départ et vous verrez que ça marche :

Complications

Les puissances

Tant que l’on a que les quatre opérations de base dans notre équation, tout se passe donc plutôt bien. Les choses commencent à se compliquer dès que les puissances apparaissent. Le problème avec les puissance c’est qu’elles ne sont pas réversibles de façon unique. Regardons par exemple l’équation suivante :

Cette équation peut se représenter de la façon suivante :

Spontanément, on a envie de répondre que la réponse se trouve grâce à la racine carrée. En effet, $\sqrt{9}=3$ est bien solution à notre équation : si on remplace $x$ par 3, on a bien $3^2=9$.

Seulement voilà, en faisant ça, on a oublié une solution : -3. En effet, on a également $(−3)^2=9$. Un nombre strictement positif possède toujours deux racines carrées et le symbole $\sqrt{~~}$ sert à désigner celle des deux qui est positive.

Le carré nous permet donc de découvrir une nouvelle facette des équations : une équation peut avoir plusieurs solutions. En l’occurrence, l’équation $x^2=9$ possède deux solutions, -3 et 3. Cela peut se représenter de la façon suivante.

Une fois que l’on a compris cela, on peut trouver des équations avec de multiples solutions en ajoutant des carrés. Regardons par exemple l’équation suivante :

On peut la représenter comme ceci :

Puis, le schéma suivant permet de trouver ses solutions :

Il y a deux carrés dans l’équation, les solutions se dédoublent donc deux fois. Ainsi, l’équation possède quatre solutions : -4, -2, 2 et 4.

En multipliant le nombre de carrés dans l’équation, on multiplie à chaque fois le nombre de solutions. Avec ce procédé, vous pouvez donc imaginer des équations ayant autant de solutions que vous voulez.

Quand les $x$ sont plusieurs

Là où ça se complique vraiment, c’est quand les $x$ commencent à être plusieurs dans l’équation. Prenons par exemple l’équation suivante :

Cette fois, la méthode précédente ne marche pas. En effet, l’inconnue x apparaît deux fois, ce qui rend impossible la remontée vers l’inconnue en appliquant simplement des opérations inverses.

Ce genre d’équation est beaucoup plus subtile et demande l’utilisation de techniques plus avancées. Mais même ces techniques ne marchent pas à tous les coups : il existe certaines équations pour lesquelles même les mathématiciens d’aujourd’hui ne connaissent pas de méthode générale pour calculer les solutions ! Nous verrons ceci dans la deuxième partie de ce cours.

La règle fondamentale de manipulation des équations

La règle fondamentale de manipulation des équations est la suivante :

On ne change pas les solutions d’une équation en appliquant la même transformation réversible à ses deux termes.

Prenons encore une fois l’exemple des quatre opérations de base, dont nous avons déjà vu qu’elles étaient réversibles. Alors, si on a une équation, on peut lui ajouter, lui soustraire, la multiplier ou la diviser par un nombre quelconque.

Pour illustrer l’utilité de cette règle, reprenons l’exemple de la première équation que nous avons vue au début de ce chapitre :

Alors, il est possible de faire l’opération −5 de chaque côté de l’équation, on obtient alors :

Les +5–5 s’annulent à gauche, ce qui donne au final :

Cette manipulation nous a permis d’isoler le $x$ et donc de résoudre l’équation. Bon, dans ce cas, ce n’est pas révolutionnaire comme méthode vu que la solution est vraiment simple à trouver et que nous la connaissions déjà, mais nous allons voir par la suite que sur des équations plus compliquées, cela permet de simplifier beaucoup de choses.

Quand les termes changent de côté

Ce genre de transformation permet de faire changer de côté certains termes des équations. Imaginons que l’on a une équation de la forme suivante :

$\text{machin}+\text{truc}=\text{bidule} $

Et supposons que pour résoudre l’équation, il soit préférable que "truc" se trouve de l’autre côté de l’égalité. Alors il est possible de le soustraire des deux côtés et on obtient ceci :

$\text{machin}+\text{truc}-\text{truc}=\text{bidule}-\text{truc} $

On voit alors que les trucs s’annulent dans le terme de gauche, on obtient donc ceci :

$\text{machin}=\text{bidule}-\text{truc} $

Remarquez cette chose amusante : en passant de l’autre côté, le signe du truc a changé, c’était un + et c’est devenu un −.

La règle, est donc la suivante : quand un terme est additionné ou soustrait d’un côté d’une équation, on peut le faire passer de l’autre côté en changeant son signe. Autrement dit, en passant de l’autre côté du signe =, les additions se transforment en soustraction et inversement.

$\text{machin}+\text{truc}=\text{bidule} \Longleftrightarrow \text{machin}=\text{bidule}-\text{truc}.$

La même chose est vraie pour la multiplication et la division.

$\text{machin}\times\text{truc}=\text{bidule} \Longleftrightarrow \text{machin}=\text{bidule}\div\text{truc}.$

Quelques complications

Opérations non réversibles

Pour l’instant, nous connaissons principalement une opération non réversible : le carré. Reprenons donc notre équation $x+5=16$ et appliquons-lui un carré :

$(x+5)^2=16^2=256.$

À première vue, ça n’a pas changé grand chose, le nombre 11 est toujours solution : (11+5)²=256. Pourtant, si on y regarde d’un peu plus près, on se rend compte que le carré a fait apparaître une autre solution. En effet, si on remonte vers l’inconnue comme nous l’avons fait dans la section précédente, on obtient le schéma suivant :

Après avoir pris le carré, on voit donc apparaître comme par magie une nouvelle solution, −21, qui n’est absolument pas solution de notre équation de départ.

Il faut donc retenir ceci : on a le droit d’appliquer des transformations non réversibles, mais ceci peut entraîner l’apparition de nouvelles racines ! Donc attention, si vous utilisez ce genre de transformation, il faut à la fin de la résolution faire le tri entre les bonnes solutions et les mauvaises.

Opérations impossibles

Il y a une deuxième chose dont il faut se méfier quand on transforme des équations, ce sont les opérations impossibles. Prenons l’exemple de l’équation suivante :

$x=x^2.$

Nous cherchons donc un nombre égal à son carré. En voyant cette équation, on peut être tenté de diviser par $x$ des deux côtés. On obtient alors :

$1=x.$

Et hop, on a résolu l’équation : le nombre que l’on cherche est 1 qui est bien égal à son carré.

La solution trouvée est juste, oui mais voilà, en y regardant d’un peu plus près, on se rend compte qu’on a oublié une solution : 0. En effet, 0 est également égal à son carré. Mais alors à quel moment l’a-t-on oublié ?

Le 0 a sauté au moment où on a fait la division. Une division par 0 n’est pas possible de sorte que la transformation que nous avons effectuée pour passer à $1=x$ n’est valable que si $x$ est non nul. En faisant cette étape, nous avons donc oublié le 0 en route.

Récapitulons

En bref, voici un résumé en trois points de ce que nous venons de voir :

• si l’opération est réversible, alors les solutions sont exactement les mêmes ;
• si l’opération n’est pas réversible, alors il est possible que de nouvelles solutions apparaissent au cours de la transformation ;
• si l’opération possède des valeurs impossibles, alors il est possible que des solutions disparaissent au cours de la transformation.

Au IXe siècle, Al-Khawarizmi étudia les équations ne faisant intervenir que des nombres, des multiples de l’inconnue (par exemple $7x$) et des multiples du carré de l’inconnu (par exemple $2x^2$). Ces équations s’appellent des équations du second degré. Seulement à son époque, les nombres négatifs étaient encore mal maîtrisés, et Al-Khawarizmi ne s’autorisait que les termes positifs et sans signe négatif. Par exemple, pour lui, $3x^2+6=3x$ ne pose pas de problème, mais il ne considère pas d’équations de la forme $−x^2+2=−3x$.

Cette contrainte l’obligeait à distinguer 6 type d’équations différentes qu’il nommait de la façon suivante :

• les carrés égalent les racines, par exemple $3x^2=5x$ ;
• les carrés égalent les nombres, par exemple $3x^2=2$ ;
• les racines égalent les nombres, par exemple $5x=2$ ;
• les carrés et les racines égalent les nombres, par exemple $3x^2+5x=2$ ;
• les carrés et les nombres égalent les racines, par exemple $3x^2+2=5x$ ;
• les racines et les nombres égalent les carrés, par exemple $5x+2=3x^2$ ;

Al-Khawarizmi traite donc ces six cas séparément et donne pour chacun une méthode de résolution différente. Pas très pratique tout ça.

Tous à babord !

Grâce à ce que nous avons vu et à l’utilisation des nombres négatifs, il est possible de réduire toutes ces équations à un seul type, en passant tous les termes du même côté de l’égalité. À gauche par exemple.

Par exemple, si on a l’équation suivante $3x^2+2=5x$, il est possible de passer le $5x$ de l’autre côté de façon à obtenir $3x^2−5x+2=0$.

En utilisant ce procédé, toutes les équations d’Al-Khawarizmi se réduisent à un seul type :

$ax^2+bx+c=0.$

où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres quelconques. Par exemple dans l’équation $3x^2−5x+2=0$, on a $a=3$, $b=−5$ et $c=2$.

Mine de rien, cette petite opération va considérablement nous simplifier la tâche, car grâce à ça, nous allons pouvoir résoudre toutes les équations du second degré grâce à une seule et même méthode ! Nous verrons cette méthode dans la seconde partie de ce cours.

C’est pour cette raison que la plupart du temps, une des première chose que l’on fait avec une équation, c’est de passer tous les termes du même côté de façon à réduire au maximum le nombre de cas à étudier. Ceci vaut pour les équations du second degré, mais également pour de nombreux autres types d’équations. En bref, si on a une équation du type $\text{truc} = \text{machin}$, on s’empresse de faire passer machin de l’autre côté :

$\text{truc} - \text{machin}=0.$

Pour terminer cette section, voici une case issue de la bande dessinée L’idée fixe du savant Cosinus, parue en 1893 (à cette époque il n’y avait pas de bulles, les textes étaient écrits en dessous de la case). Le savant Cosinus est en train de résoudre des équation sous l’œil de sa servante Scholastique.

Normalement, vous devriez maintenant être capable d’expliquer à Scholastique pourquoi toutes les équations de Cosinus sont égales à 0.

Nous venons de voir que dans la résolution des équations, les quatre opérations ne posent pas de problèmes car elles sont réversibles. Les difficultés se présentent lorsque des puissances apparaissent. Pour cette raison, les équations sont traditionnellement classées selon les puissances qui y sont présentes.

Équations polynomiales

Équations du premier degré

Une équation qui ne fait intervenir que $x$ (c’est-à-dire $x^1$) et des nombres reliés par les quatre opérations se nomme une équation du premier degré.

Si on s’en tient à la définition, voici un exemple d’équation du premier degré :

$(x−6)×(−1)+4=(2x+3)÷7.$

Ceci est effectivement une équation du premier degré. Mais sa forme peut-être considérablement simplifiée grâce à plusieurs astuces.

• Astuce 1. Il est possible de se contenter de deux opérations : l’addition et la multiplication. En effet, une soustraction est simplement un addition par l’opposé et une division est une multiplication par l’inverse. Par exemple, soustraire 6, c’est ajouter (-6) et diviser par 7, c’est multiplier par 1/7.
• Astuce 2. Grâce à ce que nous avons vu dans la section précédente, nous pouvons regrouper tous les termes du même côté, le terme de droite restant égal à 0.
• Astuce 3. Il est possible de supprimer les parenthèses grâce à la distributivité. Si par exemple, on a l’équation $3\times (x+2)=0$, cela devient en développant $3x+6=0$.

Au final, après toutes ces simplifications, notre équation se résume donc à au plus une addition et une multiplication qui sont toutes les deux du même côté de l’égalité. La forme générale d’une équation du premier degré est donc :

$ax+b=0,$

où $a$ et $b$ sont deux nombres quelconques qui peuvent être positifs ou négatifs. Par exemple, les équations suivantes sont du premier degré :

• $3x+2=0$ ;
• $−2x+87=0$ ;
• $0,12x−2,8=0$.

Allez, un petit défi : essayez de mettre sous la forme $ax+b=0$, l’équation de tout à l’heure :

$(x−6)×(−1)+4=(2x+3)÷7.$

Prenez bien le temps de chercher par vous-même avant de regarder la réponse :

Équations du second degré

Une équation dont toutes les puissances de $x$ sont inférieures ou égales à 2 ($x$ et $x^2$) se nomme une équation du second degré.

Toutes les astuces de simplification que nous avons vues pour les équations du premier degré restent vraie pour le second degré. Ainsi, la forme générale d’une équation du second degré est

$ax^2+bx+c=0.$

Par exemple $x^2+3x−4=0$ est une équation du second degré avec $a=1$, $b=3$ et $c=−4$.

Équations du troisième degré

Vous commencez à comprendre le principe. Une équation dont toutes les puissances de $x$ sont inférieures ou égales à 3 ($x$, $x^2$ et $x^3$) se nomme une équation du troisième degré.

La forme générale d’une équation du troisième degré est :

$ax^3+bx^2+cx+d=0.$

Par exemple $2x^3−x+5=0$ est une équation du troisième degré avec $a=2$, $b=0$, $c=−1$ et $d=5$.

Et ainsi de suite

On continue ainsi aussi longtemps qu’on veut. Voici quelques exemples :

• l’équation $x^4−2x^3+5x^2+x−8=0$ est du quatrième degré ;
• l’équation $−2x^5+x^4−2x^3+5x^2+x−8=0$ est du cinquième degré ;
• l’équation $0,01x^6−2x^5+x^4−2x^3+5x^2+x−8=0$ est du sixième degré…

Je m’arrête ici, je pense que vous avez compris le principe. Toutes ces équations se nomment des équations polynomiales. Ce sont donc les équations qui font intervenir les quatre opérations de base et des puissances de $x$.