À mon avis c’est surtout fait pour que les L3 des ENS et de l’X puissent s’inscrire.
C’est marrant, j’ai beaucoup moins confiance d’un coup :’)
Bah je te cache pas que si le niveau visé est master et que tu n’es qu’en prépa, ça va être compliqué. Mais peut-être que certains problèmes seront plus à ta porté que d’autres … je ne sais pas à quoi ça va ressembler
Les sujets ont tendance à être assez difficiles, pour ce que j’en sais. Le plus souvent, un niveau master les utile voire nécessaire, mais davantage pour avoir un recul suffisant que pour la nature des théorèmes mis en jeu.
Bah je te cache pas que si le niveau visé est master et que tu n’es qu’en prépa, ça va être compliqué. Mais peut-être que certains problèmes seront plus à ta porté que d’autres … je ne sais pas à quoi ça va ressembler
Gagné. En vrai, j’ai regardé rapidement quelques exos histoire de voir du coup. Bon déjà, il me manque des notions. Par exemple, je sais qu’on ne voit les mesures qu’en première année d’école d’ingé (donc L3 du coup), donc il y a quelques questions que je ne peux même pas commencer à traiter. Ensuite, certains problèmes sont assez intéressants. Alors que j’adore l’analyse, je trouve le problème de modélisation dix fois plus intéressant au premier abord.
Mais ce que je trouve vraiment intéressant, c’est que pour un coup je peux chercher du côté où je veux. SI j’ai envie d’utiliser le grand Théorème de Fermat, je peux (enfin je pense), contrairement à la prépa où je vais devoir être limité aux théorèmes du cours.
Au niveau du recul, il est évident que je ne peux pas prétendre avoir celui d’un master. Pourtant, c’est quand même plus des théorèmes manquants dont j’ai peur, parce que même si je cherche sur la bonne voie, il n’est pas dit que je puisse me dire encore "Ah tiens, peut-être que je pourrais essayer de montrer ça". Pour donner un exemple à mon niveau, si on m’avait pas donné le théorème de convergence dominée, j’aurai jamais eu l’idée de le démontrer pour m’en servir.
Vous voulez que je vous copie le sujet que vous voyiez à quoi ça ressemble ?
SI j’ai envie d’utiliser le grand Théorème de Fermat, je peux (enfin je pense)
Je ne pense pas que ce soit une bonne idée. Faire des maths c’est pas juste pondre des résultats, c’est aussi s’intéresser au chemin parcouru.
Ouais je veux bien voir le sujet si possible
Un proverbe dit qu’il vaut mieux utiliser son intelligence sur des conneries que sa conneries sur des choses intelligentes ; aujourd’hui, calculons le 1019e terme de la suite de Fibonacci modulo 1000000007.
Bon :
Soient $p,q\geq2$ deux entiers multiplicativement indépendants, c’est-à-dire tels que, pour tout couple $(a,b)$ d’entiers strictement positifs, on a $p^a\neq q^b$. On suppose que $f(x)$ et $g(x)$ sont deux polynômes complexes sans terme constant tels que
Montrer qu’il existe un polynôme complexe $h(x)$ tel que
Vraiment beaucoup plus long, une page et demie à elle seule, j’ai pas tellement la foi de le taper (si quelqu’un a une solution pour importer des fichiers pdf sur le forum…).
On se donne des entiers $p\geq1,n\geq2,k_i\geq1$ pour $i=1,\ldots,n$, tels que
Soit l’ensemble $\mathcal{S}$ des solutions de l’équation
Il s’agit de donner un minorant de $c_p:=\#S$ (cardinal de $\mathcal{S}$), notamment dans le cas $p$ grand, qui soit explicite selon $k_1,\ldots,k_n$. Montrer qu’on a par exemple
pour une constante $C_n>0$, dont on pourra donner une expression ou un moyen de calcul.
Il n’est pas interdit de proposer une meilleure notation de $c_p$, ou même un équivalent simple quand $p$ est grand.
Sur un plan pavé par des triangles équilatéraux on déplace un solide régulier (à faces triangulaires) dont les faces ont la même taille que les dalles du pavage. Le solide est posé sur une seule dalle et pour se déplacer sur les dalles voisines il bascule sur l’arête commune aux dalles d’avant et d’après le mouvement.
A partir d’une position initiale, quelles sont les positions (dalle et orientation du solide) atteignables en se déplaçant ? On étudiera les solides réguliers suivants :
Une personne se trouve sur le trottoir sud d’une longue route rectiligne orientée est-ouest, et doit la traverser en se déplaçant en même temps d’une certaine distance (fixée, et non nulle) vers l’ouest.
Elle marche à une vitesse prescrite et constante et voudrait arriver à destination le plus rapidement possible. Cependant, tant qu’elle marche en pleine chaussée, il y a un risque de se faire renverser par une voiture, et ce risque (par unité de temps) est une fonction croissante de la distance aux trottoirs (donc, maximal au milieu de la chaussée, et croissant en s’y rapprochant ; on suppose aussi que cette fonction "risque" est une fonction régulière de la position où on se trouve). Elle décide donc de choisir sa trajectoire de manière à minimiser la somme du temps et d’un coût proportionnel au risque total de se faire renverser pendant le parcours.
Prouver qu’une telle trajectoire optimale existe, et en discuter les propriétés qualitatives :
Prouver également l’unicité de cette trajectoire optimale.
est une suite de variables aléatoires indépendantes de loi $\mu$.
Dans la suite, on notera $\mathbb{P}^k$ une mesure de probabilité sur $(\Omega,\mathcal{F})$ telle que sous $\mathbb P^k$, $\left(S_n\right)_{n\geq0}$ est une marche aléatoire partant de $k$ et de loi des pas $\mu$.
Le but du problème est de décrire une méthode permettant de déterminer la suite $\left(u_k\right)_{k\in\mathbb{Z}}$, définie par
Montrer que la suite $\left(u_k\right)_{k\in\mathbb{Z}}$ satisfait une relation de récurrence linéaire que l’on déterminera.
Montrer que $\lim\limits_{k\to+\infty}u_k=1$, puis exprimer $u_k$ en fonction de $k$.
Déterminer une méthode, la plus générale possible, permettant d’exprimer $u_k$ en fonction de k.
On appelle cycle limite d’un champ de vecteurs défini sur un domaine (c’est-à-dire un ouvert connexe) de $\mathbb R^2$une orbite fermée, qui est isolée : cela signifie qu’elle a un voisinage dans lequel il n’y a aucune autre orbite périodique.
On se donne une fonction holomorphe $f(x+iy)=f_1(x,y)+if_2(x,y)$ sur un domaine dans $\mathbb{R}^2=\mathbb C$, et on considère le champ de vecteurs $X=\left(f_1,f_2\right)$ défini sur ce domaine.
Démontrer que le champ $X$ ne peut pas avoir de cycles limites.
Soit $n\geq2$ un entier, $a_1,a_2,\ldots,a_n$ des nombres réels et $b_1,b_2,\ldots,b_n$ des nombres strictement positifs. Supposons que
où
Note personnelle : J’ai laissé comme dans l’énoncé, mais je dirais quand même bien que la somme de gauche est mal indicée 
Pour un entier $n\geq2$ donné, déterminer l’entier minimal $\sigma(n)$ tel que tout élément de $\mathbb{Z}_{n\mathbb{Z}}$ soit une somme de $\sigma(n)$ carrés.
On dit qu’un espace métrique $(X,d)$ est géodésique si pour tous points $x$ et $y\in X$, il existe (au moins) un segment géodésique joignant $x$ et $y$, c’est-à-dire une application $\gamma:[0,d(x,y)]\to X$ telle que $\gamma(0)=x,\gamma(d(x,y))=y$ et $d(\gamma(s),\gamma(t))=|s-t|$ pour tous $0\leq s,t\leq d(x,y)$.
Soit $(X,d)$ un espace métrique géodésique localement compact. Soit $G$ un groupe agissant à gauche sur $X$ par isométries. On note simplement l’action $(g,x)\mapsto gx$. On dit que l’action est proprement discontinue si, pour toute partie compacte $K\subset X$, l’ensemble
est fini.
On fixe un espace métrique géodésique localement compact. On se donne une action à gauche proprement discontinue d’un groupe $G$ par isométries sur $(X,d)$. On suppose que l’espace quotient $X/G$ est compact.
est fini.
existe, et qu’il existe une constante $C$ telle que, pour tout $R>0$,
Indication. Soit $\Lambda$ un réel suffisamment grand pour que les boules $B(gx,\Lambda)$ recouvrent $X$ lorsque $g$ décrit $G$. On montrera que la fonction $R\mapsto\#\{g\in G;R-2\Lambda\leq d(x,g(x))\leq R+2\Lambda\}$ est sous-multiplicative.
(si quelqu’un a une solution pour importer des fichiers pdf sur le forum…).
Un lien vers une dropbox par exemple ?
Algèbre
Ça sent les anneaux de polynômes dans des corps finis à plein nez. De la théorie de Galois aussi probablement.
Systèmes dynamiques
Sujet sympa. Y a surement moyen de s’en sortir entre un Poincaré-Bendixon après avoir prolongé le champ à l’infini pour travailler avec $S^2$.
Topologie
Pas très marrant.
Le 1. est pas bien compliqué normalement. Le groupe agissant de manière assez gentille, c’est pas très surprenant d’obtenir ça.
Pour le 2. et la constante ça a l’air un peu plus tricky par contre.
(Si ça ne te dérange pas)
Tu peux mettre ton pdf ici : http://www.fichier-pdf.fr/
Voici
Un billet de blog intéressant sur la quantité de ressource naturel exploitable restant. Le mot clé est « exploitable ». 
Alors, le cuivre, il en reste pour 50 ou 2000 ans ?
Et pour le pic de pétrole, il y a un leurre. Le fait que dans la production de pétrole on compte à la fois le pétrole lourd, super-lourd, et tout le reste. Le lourd et super-lourd n’augmente plus depuis pas mal de temps.
Et là encore, pour le pétrole on a l’augmentation de la capacité d’extraction sur 200 ans en même temps que les nouvelles capacités technologiques… et ça décroit lentement mais surement. Il y a aussi une limite physique à l’extraction: il faut principalement des machines thermiques avec un rendement de carnot donc. Dès lors, même à supposer la limite physique, il restera du pétrole inexploitable puisqu’il faudra plus d’énergie pour l’extraire que ce qu’il ne peut en donner.
On savait que les singes étaient très forts pour chaparder les objets. Apparemment, ils se sont aussi mis au racket. http://www.gurumed.org/2017/05/26/comment-les-macaques-bali-en-sont-venus-racketter-les-humains/
Avec, en prime, la vidéo inratable du singe qui se rend compte que le singe de la cage d’à côté dispose d’un traitement de faveur. 
Coucou les scientifiques !
Plein de nouvelles choses sur YouTube !
Tout d’abord une vidéo que j’ai beaucoup apprécié sur les théorèmes de Gödel.
Et puis, bien sûr, on ne peut pas passer à côté de la dernière découverte d’ondes gravitationnelles ! La vidéo de Veritasium à ce sujet est sympa.
Comment réaliser deux cercles de rayon différents avec un compas d’ouverture fixée et une gomme ? Si la réponse n’a rien d’exceptionnelle, j’aime ce genre d’énigme qui oblige à penser différemment de ce dont on a l’habitude.
Je trouve que la question aurait eu plus d’intérêt si elle avait été posée sans introduire la gomme "comment réaliser deux cercles de rayons différents avec un compas d’ouverture fixe ?". La réponse facile serait de changer la longueur d’une branche du compas (comme avec la gomme), la réponse un peu plus recherchée aurait été de changer la topologie du support sur lequel le cercle est tracé.
Connaissez-vous le signal "Wow" ? C’est un signal radio, capté en 1977, que personne n’a jamais vraiment pu expliquer, à part comme étant un signal envoyé par des extraterrestres. Voici une chouette vidéo d’Astronogeek qui aborde le sujet :
Pourquoi je vous en parle ? Eh bien, parce qu’il y a trois jours, on a eu une avancée dans le domaine : en fait, c’était très certainement dû à une comète qui était de passage.
Pour me faire pardonner de ce teasing qui finit en eau de boudin, je vous laisse avec l’étoile KIC 8462852, ou étoile de Tabby, dont les variations de luminosité défient encore toute explication, à tel point que certains avancent l’hypothèse d’une sphère de Dyson incomplète autour de l’étoile.
Gabbro : je me suis fait complètement feinter. Mais je ne sais pas trop quoi penser de ce genre d’énigme, parce que d’un côté les énigmes ont très souvent un cadre préétabli, justement pour ne pas perdre de temps à chercher des astuces alors qu’il y a un raisonnement logique qu’on attend de la part de la personne qui résout l’énigme. De l’autre côté… on peut aussi considérer que ça fasse partie de l’énigme, de s’affranchir des conventions classiques.
Petite vidéo du jour. L’argumentaire est tellement proche du mien (par exemple sur la question matrice=tableau de nombre), il faut que je vous prévienne : ce n’est pas moi :P.
Alors là, je suis fan
Pour les allergiques à l’anglais et/ou aux vidéos :
Il suffit de connaitre 38 décimales de $\pi$ (soit 39 chiffres significatifs) pour calculer la circonférence de l’Univers observable à un atome d’hydrogène près…
C’est même au dixième d’un atome d’hydrogène près si j’ai bien retenu les arrondis qu’ils donnaient.
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