Enseigner les Mathématiques

Je crois qu'on ne met pas exactement le même sens derrière "élève en difficulté". Comme je le disais dans un précédent post, j'ai vu (et je vois encore) passer des gamins qui à 14 ans ne savent pas ce qu'est une multiplication, quel est le sens de cette opération et à quoi elle sert. C'est ça que j'appelle un gamin en difficulté. Ce n'est pas un gamin qui tourne à 8 ou 9 en Math. Et ces gamins-là n'ont pas la capacité d'aller vers une voie technologique. Ils partent vers une voie pro et les retours des patrons sont généralement mauvais car en les bombardant de notions qui les dépassent, le collège oublie de traiter leurs vrais problèmes. Enfin, je n'ai non plus dit qu'ils ne pouvaient pas réussir ! La voie pro est d'ailleurs une très bonne filière, il est juste dommage que le collège y envoie des élèves démotivés parce qu'il n'a pas su s'en charger.

Je ne sais pas si ce que je propose serait la solution. Je pense simplement que le collège devrait être plus modulaire sur ses deux dernières années et préparer réellement le choix d'orientation, plutôt que de l'imposer la dernière année.

Pour en venir à tes arguments basés sur les classement internationaux, je vois mal comment tu peux isoler un facteur (celui de l'orientation) parmi la multitude de facteurs existants pour interpréter ton classement. C'est d'ailleurs étrange que tu me parles du système japonais qui est justement réputé pour son caractère sélectif. Je vois mal comment tu peux imputer la réussite de la Corée et du Japon au fait qu'ils auraient pour objectif d'emmener tout le monde au même point, en passant sous silence l'existence d'un véritable système scolaire bis. Ces pays ont érigé le cours particulier, les heures scolaires sup et le bachotage en règle de vie. Et ça, ça ne se décrète pas par une réforme de l'enseignement. Du coup, j'aimerais bien avoir ton avis sur ces 2 systèmes (coréens et japonais). Quels éléments précis penses-tu que l'on pourrait importer ? Je suis curieux .

Je crois qu'on ne met pas exactement le même sens derrière "élève en difficulté". Comme je le disais dans un précédent post, j'ai vu (et je vois encore) passer des gamins qui à 14 ans ne savent pas ce qu'est une multiplication, quel est le sens de cette opération et à quoi elle sert. C'est ça que j'appelle un gamin en difficulté.

Qu'il y en ai 1 ou 2, d'accord, mon grand-père avait la même chose dans ses classes professionnelles/technologique (il était professeur de technologie pneumatique et electronique dans un lycée de Lille), et ma mère observait quelque chose de similaire dans ses classes (mais pour le français, évidemment).

Mais dans ce cas, quel est le rapport avec ton intervention initiale, à savoir : "Quel est l'objectif des mathématiques au collège ? Préparer au Lycée en perdant 60% des gosses ou donner un bagage minimal mais solide et partagé par 90% des élèves ?" Il y a réellement 40% des gamins dans tes classes ne savent pas faire une multiplication en collège ? Dans ce cas, pourquoi les mesures de la DEEP ne sont pas d'accord et mentionnent un nombre nettement inférieur courant primaire ?

Je ne sais pas si ce que je propose serait la solution. Je pense simplement que le collège devrait être plus modulaire sur ses deux dernières années et préparer réellement le choix d'orientation, plutôt que de l'imposer la dernière année.

C'est ce qui est fait dans les pays qui ont les plus mauvais résultats aux tests PISA, et la suppression de ces possibilités d'orientation et le remplacement par un collège ou lycée unique est suivi dans les années qui suivent par une augmentation significative des résultats des élèves. Le dernier exmple en date est celui de la Pologne, il me semble (à vérifier).

Pour en venir à tes arguments basés sur les classement internationaux, je vois mal comment tu peux isoler un facteur (celui de l'orientation) parmi la multitude de facteurs existants pour interpréter ton classement. C'est d'ailleurs étrange que tu me parles du système japonais qui est justement réputé pour son caractère sélectif.

Selectif au niveau du supérieur, mais pas avant : au primaire et au collège/lycée, c'est l'éducation yutori (éducation sans pression) qui règne. C'est tout de même un pays où il n'y a pas de cours ni d'enseignants en maternelle, avec collège et lycée unique, sans filière au lycée/collège, et avec 95% de reçus au baccalauréat. Et la mentalité des enseignants est clairement différente.

Système de bachotage qui n'est pas utilisé par tous les parents mais essentiellement par les familles riches (comme en France, en fait…). Et qui est utilisé seulement pendant le lycée (avant l'entrée en université, qui est sélective) : après l’usage des tests PISA (passés à 15 ans). Et qui n'existe pas dans d'autres pays nordiques assez bien classés dans PISA ou PIRLS.

Ce qui peut être importé, ce sont les méthodes d'enseignement. Après, il faudrait les étudier dans le détail pour voir les différences entre pays, et à ma connaissance, seule l'étude TIMSS l'a fait. Les résultats sont étudiés par quelques chercheurs. J’ai notamment remarqué ces études :

• Analogy, higher order thinking, and education ;
• Teaching the Conceptual Structure of Mathematics ;
• Et un test pour vérifier que c'est bien l'usage de méthodes différentes qui donne les résultats escomptés.

Ça doit pas être les meilleures études, et elles ne sont pas tellement convaincantes. Personnellement, je les trouve nettement moins bien impressionnantes que celles sur le schema-based instruction, qui se base sur les mêmes théories. Mais pourquoi pas.

Et au passage, concernant le fameux débat : "faut-il apprendre un socle minimal à 60% des élèves ou bien donner une véritable éducation à 90% des élèves", je te signale que la loi a déjà tranché pour le socle minimal. A coté des programmes, il existe un socle commun de connaissances et de compétences, qui donne le socle minimal pour 60% des élèves. Et les textes sont clairs : l'apprentissage des connaissances du socle est privilégiée, et DOIT recevoir plus de temps comparé aux apprentissages du programme non-compris dans le socle. Techniquement, il faut certes terminer le programme, mais un professeur a déjà le droit de sacrifier ce qui ne fait pas partie du 60% en le torchant à la va-vite en une seule séance. C'est au choix du professeur, voilà tout.

C'est pas si stupide, mais cela n'arriverait pas avec des professeurs mieux formés. Et c'est pas avec les Espé que cela va s'arranger.

Mais dans ce cas, quel est le rapport avec ton intervention initiale, à savoir : "Quel est l'objectif des mathématiques au collège ? Préparer au Lycée en perdant 60% des gosses ou donner un bagage minimal mais solide et partagé par 90% des élèves ?" Il y a réellement 40% des gamins dans tes classes ne savent pas faire une multiplication en collège ? Dans ce cas, pourquoi les mesures de la DEEP ne sont pas d'accord et mentionnent un nombre nettement inférieur courant primaire ?

Oulah ! On a bien dérivé depuis et cela fait partie de mon côté marseillais . Je n'ai pas 40% de gosses ne maîtrisant pas la multiplication (quoique j'ai connu des établissements où l'on en n'était peut-être pas si éloigné que ça ). C'est lié davantage ici à une vision plus globale que je ne vais peut-être pas détailler à cette heure-ci. Pour faire vite, disons que le collège se termine par une orientation pro/techno/général (orientation fondamentale car définitive pour beaucoup de gamins, même si tu trouveras forcément quelques contre-exemples) qui n'est pas préparée en amont et qui ne pourra pas l'être tant que le collège restera monolithique. Je ne parle pas de créer un pallier d'orientation en fin de 5^ème mais plutôt de varier les parcours en fin de collège afin de commencer à découvrir le monde pro, les filières … de sorte que l'orientation se fasse en connaissance de cause 2 ans plus tard.

De même, l'enquête PISA ne dit pas que nous enseignons mal les Maths puisque les élèves en réussite y sont chaque année plus nombreux et plus en réussite. Elle nous enseigne que les écarts se creusent de plus en plus fortement entre ces élèves et les décrocheurs. Continuer dans cette voie en se contentant de dire qu'il faut monter le niveau relève de l'aveuglement. D'ailleurs je crains que l'idée (somme toute bonne) d'introduire l'algorithmique au collège n'aggrave ces écarts. Avec les gamins, tout n'est pas seulement question de programme et de méthode, il y a également les facteurs temps et travail. Le collège monolithique empêche de prendre du temps supplémentaire, ou alors de façon anecdotique.

Enfin, et je reboucle sur les Maths, il y a des priorités à fixer : il est préférable de savoir résoudre un problème de proportionnalité que de savoir que cela implique des points alignés dans un graphique ; il est préférable de savoir mesurer, construire, additionner des angles que de savoir différencier des angles alternes-internes et des angles correspondants ; il est préférable de savoir résoudre une équation du premier degré que de savoir factoriser une équation de degré 2 à l'aide d'une identité remarquable … il est nécessaire d'avoir des programmes mieux structurés et allégés du superflu.

EDIT : Le socle commun de compétence est une vaste fumisterie dont personne sur le terrain ne tient compte. Mais si les ministres prenaient un jour le temps de considérer ce qui se passe sur le terrain, ils éviteraient ce genre d'idées fumeuses venues de leurs hauts fonctionnaires (socle commun, IDD … ) qui ne fonctionnent jamais ailleurs que dans l'esprit de leurs inventeurs.

En quoi le Japon a-t-il plus de désavantages que nous ? Une langue difficile ? Il n'y a pas d'un côté la France, et de l'autre le Japon.

Il y a , très globalement, d'un côté les pays d'occident, et de l'autre les pays d'orient. Je fais l'impasse sur les pays émergents.

Et si on cherche ce qui différencie ces 2 blocs, on trouve différentes choses.

• Des pays d'occident avec une croissance faible, un chômage élevé depuis 30 ans, et des pays d'orient en croissance.

Ou encore quelques chiffres issus de l'enquête PISA 2012 (Parce que l'enquête PISA mesure les performances des élèves, mais aussi des tas d'autres choses !) :

• Pourcentage d'élèves qui sont dans un collège où il y a des problèmes de ponctualité ( élèves souvent en retard) : Moyenne OCDE : 65%

France : 61.5%

Japon : 6.4%

Pourcentage d'élèves qui sont dans des collèges où, selon le principal, il y a des problèmes de drogue ou d'alcool :

Moyenne OCDE : 5.9%

France : 12.3%

Japon : 1.5%

Et il y a des tas d'autres indicateurs, des analyses multi-variées … Le mieux est de lire le rapport complet de ces enquêtes.

Sinon, un gros +1 pour les différents message de Kaji9

Et dans ce cas, pourquoi aucun sociologue de l'éducation dans le monde ne prend en compte les chiffres que tu donnes ? La réponse est simple : la corrélation avec la réussite d'un pays tout autre variable égale par ailleurs est faible, voire inexistante pour la première, et parce que les déclarations d'un principal sont totalement subjectives et invérifiables pour la seconde. Ton message cite quelques chiffres, mais tu oublie de citer les autres pays.

Parce que tu peux sortir les chiffres de l’absentéisme, sauf que tu oublie de préciser qu'à coté, les élèves français ont un très fort nombre d'heure de cours comparé aux autres pays testés par PISA, y compris en ne tenant en compte que les pays les plus performants. On est à la 7éme place de tous les pays de l'OCDE, largement au-dessus de la moyenne, alors que le Japon, la Suisse, et la Corée sont largement en-dessous de cette moyenne, alors que ce sont les trois pays les plus performants au classement !

Par exemple, pour PISA 2006, on a en moyenne 1147 heures de cours annuelles à l'âge de 15 ans toute matière confondue : c'est le plus grand nombre d'heure de tous les pays testés par l'OCDE. Les chiffres pour les âges inférieurs sont aussi assez importants en France (de mémoire, on dépasse les 900 heures systématiquement) comparé aux autres pays, le Japon et la Corée étant relativement moyens en comparaison. Donc, ce n'est pas le temps qui manque en France, contrairement à ce que peut dire Kaji9.

Et au passage, les statisticiens de PISA disent que l'influence du nombre d'heures de cours extrascolaires moyenne par élève est clairement contrastée, ce qui rend caduc le cas où l'on prend en compte les temps de cours extrascolaires. Cela confirme les études réalisées par les sociologues sur l'efficacité des devoirs qui montrent que ceux-ci ne sont pas utiles au primaire (Cooper a effectué quelques travaux dans le genre, confirmés par la méta-analyse de Hattie), et que ceux-ci servent surtout à l'entrée au lycée et ont une efficacité assez faible (mais existante) au collège (voire la méta-analyse visible learning de Hattie).

Pour d'éventuels problèmes de discipline, regarde un peu les temps de maintient de l'ordre en classe, dans ce document édité par l'OCDE : Combien de temps les enseignants consacrent-ils aux tâches d’enseignement et autres ?. On est pas si loin du Japon, à quelques pourcents près…

Quand à ta petite tirade sur l'emploi et la situation économique, regarde le second tableau de ce document qui résume les résultats de l'étude PISA 2012. Si on prend en compte la situation économique, certains pays s'en tirent mieux que d'autres. Le Japon et d'autres pays s'en sortent mieux que prévu compte tenu de sa situation économique, alors que la France non (on est clairement dans le cas où on est dans la zone de performance qui correspond à notre situation économique).

Tu parlais d'éviter les erreurs de raisonnement quelques messages plus haut, alors commence par donner l'exemple !

Pour revenir sur le classement PISA, l'idée que je soumettais était assez proche (je pense) du modèle suisse. Rappelons qu'à l'enquête PISA 2012, la Suisse arrivait en 3^ème position après la Corée et le Japon (j'exclus les cas pathologiques des micro-états et des villes seules). Et pourtant, la Suisse prépare sérieusement l'orientation vers la voie professionnelle au Collège.

ce n'est pas le temps qui manque en France, contrairement à ce que peut dire Kaji9

Pardon Mewtow, mais un nombre d'heure annuel livré en bloc ne dit pas grand chose du temps consacré aux élèves. Sans même parler des temps de remédiation, il faudrait d'abord considérer le nombre d'heures par semaine (c'est à dire la régularité du cours en question), puis le nombre d'heures par matières et par semaines (1H de Math et 3H d'art plastique, ce n'est pas équivalent à 3H de Math et 1H d'Art P) donc le nombre de matières enseignées (toutes sont elles nécessaires et obligatoires ?). Mais surtout il faut considérer ce que l'on peut faire du temps imparti. Si deux pays consacrent 4H par semaine aux math mais que l'un doit traiter 2 chapitres durant ce délai et l'autre 1/4 de chapitre, le résultat ne sera pas le même. Oui, je grossis le trait, comme avec mes 60% mais tu vois où je veux en venir Ce que je dis, ce n'est pas qu'il faut plus de temps, mais plus de temps sur certaines notions. EDIT : et/ou plus de temps sur certains élèves.

Pour illustrer cela, je vais en profiter pour faire un tacle envers PISA. Cette enquête évalue beaucoup la capacité des gamins a élucider un problème de proportionnalité. Cela me semble important qu'un collégien sache faire cela (d'autres objecteront qu'en Science, la proportionnalité est loin d'être la règle). On peut passer l'essentiel de l'année à traiter ce genre de problème dans diverses situations, les élèves français finiront tous par les maîtriser. Mais notre programme impose qu'en calcul, on enseigne les nombres relatifs, les 4 opérations sur les fractions, les puissances et les racines (avec les propriétés afférentes), le calcul littéral, les équations, les inéquations, les fonctions (vocabulaire, linéaire, affine), les systèmes d'équations … de plus nous attachons beaucoup d'importance à la rédaction et à la démonstration (notamment en géométrie), ce qui n'est pas le cas de tous les pays d'ailleurs. Au final, le temps passé sur ce thème si important de la proportionnalité se réduit au fil des ajouts. Ça, l'enquête PISA n'en tient pas compte puisqu'elle demande seulement aux gamins de se dépatouiller (pas de rédiger) dans une situation de proportionnalité, sans quasiment évaluer les autres domaines numériques (aah ! ma tendance à l'exagération).

Entendons-nous bien, je ne cherche pas d'excuses. Mais on ne peut pas sortir un nombre d'heures annuel de son chapeau sans considérer ce que l'on met derrière. Le ministère pourrait doubler le temps dévolu au Math, cela ne changerait rien si en même temps il venait à tripler la taille du programme. C'est bien pourquoi un bon coup de balai dans les programmes s'impose, ainsi qu'une hiérarchisation des priorités et une clarification des objectifs (avoir un socle commun et faire un brevet qui ne l'évalue pas, c'est bizarre non).

Comme tu le dis, il y a sûrement aussi des méthodes à revoir, mais là s'ouvre la grande question de la "formation" dans l'EN et je ne voudrais pas m'énerver ce soir, donc je me contenterai de simples guillemets (et puis j'ai déjà bien pourri le sujet avec mes interventions pessimistes à rallonge )

Mewtow,

Essayons d'être clair et concis, puisque visiblement tu n'as pas compris mon message précédent. Je dois très mal m'exprimer, parce que déjà, personne n'avait compris mes précédents messages sur les limitations de vitesse.

La question de l'absentéisme, ou l'impact de l'absentéisme, ce n'est pas que les gamins se retrouvent avec trop peu d'heures de cours. On s'en moque de cela.

Le vrai problème quand il y a absentéisme, c'est que c'est révélateur d'un état d'esprit. Le gamin sèche les cours, parce qu'il n'en a plus rien à battre, parce qu'il ne voit pas l'intérêt d'aller en cours, parce qu'il ne respecte plus son prof.

Là où effectivement, je veux bien entendre un bémol (un très gros bémol même), c'est qu'on ne sait pas si l'absentéisme est la cause de l'échec, ou bien si l'échec est la cause de l'absentéisme, ou bien (peu probable), il n'y a aucune relation de causalité entre ces 2 phénomènes.

Ceci étant, sur le lien que tu donnes, on y lit ceci : Le manque de ponctualité et l’absentéisme sont en corrélation négative avec la performance des élèves : en moyenne, dans les pays de l’OCDE, le fait d’arriver en retard à l’école est associé à une baisse de 27 points du score en mathématiques, et celui de sécher des cours ou des journées de classe, à une baisse de 37 points du score en mathématiques – soit l’équivalent de près d’une année d’études.

Ce n'est pas moi qui le dis, c'est le lien que tu nous a proposé.

Autre point, Tu abordes le sujet 'discipline'. Sur le lien que tu donnes http://www.oecd.org/fr/edu/apprendre-au-dela-de-l-ecole/EDIF%2029%20%282015%29–FR–Final.pdf, les profs disent que… le temps consacré au maintien de l'ordre est comparable entre le Japon et les autres pays. Si on regarde l'enquête PISA,les élèves disent que le temps consacré au maintien de l'ordre est plus faible au Japon qu'ailleurs, et les principaux des collèges disent la même chose que les élèves.

Donc faute de sources concordantes, on oublie. Ok ?

Suite aux judicieuses remarques reçues dans la bêta de mon article sur l'arbre de Stern-Brocot, je me pose la question suivante :

D'un côté, un non-matheux aura probablement envie qu'on lui amène doucement le résultat, quitte à sauter quelques preuves compliquées : l'objectif n'est alors pas réellement de faire des Maths. De l'autre, un matheux risque fort d'apprécier les textes clairs sous forme de liste de résultats et de preuves. Ce ne sont bien sûr que des hypothèses, mais qui me semblent assez réalistes tout de même. Or ces deux préférences paraissent incompatibles : dans le premier cas, ce n'est pas "assez" direct ; dans le second, ça l'est "trop".

Merci !

De l'autre, un matheux risque fort d'apprécier les textes clairs sous forme de liste de résultats et de preuves.

Je n'en suis pas si sûr. Ce qui m'intéresse dans un texte mathématique ce ne sont pas les résultats ou les preuves, ce sont les idées et plus globalement l'imaginaire autour d'un sujet. Un résultat avec sa preuve ça sert à mettre en forme et à donner de la solidité à un discours.

À titre d'exemple concret, hier soir avec Saroupille on a eu une discussion très intéressante sur la nature des angles. On a rien montré, rien trouvé, mais on a plus avancé sur l'idée d'angle et j'ai trouvé ça passionnant. À mon avis c'est une discussion mathématique, on a eu des idées et de nouveaux points de vues.

C'est la compréhension du sujet qui fait le texte mathématique. Ce qui compte dans une preuve, ce n'est pas tellement les détails et la technicité. Ce qui compte, c'est ce qu'on a de créatif et ce qui fait que ça marche. C'est toute la partie humaine, pas celle qu'on pourrait avoir avec un ordinateur.

Autre point : ton article ne cherche pas à faire de l'enseignement.

Je suis d'accord. Je pense que tout mathematicien s'accorderait a dire que s'il pouvait s'enfoncer un entonnoire dans le crane et y deverser des tas de definition et resultats juste pour les connaitre, il le ferait sans aucun doute car cela lui permettrait de se focaliser sur la discussion et les idees.

Le paradoxe c'est que l'on ne peut de toute maniere pas aborder sereinement de la discussion et faire fonctionner son imaginaire correctement sans passer par la case un peu chiante de la lecteur de documents un peu austere. Je crois par ailleurs que si certains aiment cela plus que d'autres c'est parce qu'ils arrivent a faire fonctionner leur imaginer sur cela plus facilement que les autres.

Ca me rassure de lire ça : je croyais en fait que les Maths se résumaient à ce qu'on fait en prépa. Heureusement, ce n'est pas le cas.

Mais la dernière ramarque d'Holosmos est intéressante et mène à la question suivante : peut-on enseigner efficacement en fournissant un texte comme on m'a conseillé d'écrire sur l'arbre de Stern-Brocot (une histoire, m'a-t-on dit) ?

Dans un cours on est censés apprendre plusieurs choses :

• le formalisme et le contenu purement théorique ;
• une intuition, une vision, du sujet ;
• communiquer efficacement sur ce sujet.

Dans les cours les plus pédagogiques on met l'accent sur le second point. Dans les cours les plus abstraits le premier point et dans les plus simples le troisième point. Idéalement il faudrait les trois en même temps, ou au moins deux.

Idéalement il faudrait les trois en même temps, ou au moins deux.

Justement : est-ce possible ?

Rien qu'au niveau du ton, un texte satisfaisant efficacement le premier point sera très différent d'un autre remplissant le second. Pour moi du moins, parce que j'ai tendance à penser qu'une formule n'est pas intuitive et qu'on ne peut introduire de l'intuition qu'avec des dessins ou des phrases, c'est-à-dire en ne faisant pas de Maths formelles. Mais bon, je n'ai pas non plus une expérience mathématique de l'espace.

Pourrais-tu expliciter le dernier point ?

Je crois que le triangle d'incompatibilite de Mundell nous dit que l'on ne peut pas avoir les trois en meme temps.

Pour le dernier point je vais prendre un exemple : la topologie différentielle. Pas la peine de savoir de quoi il s'agit ni même ce qu'on y fait (mais rapidement, on étudie des objets modulo une transformation lisse).

On trouve une masse de livres où on commence par plusieurs pages dédiées aux atlas, systèmes de coordonnées, dérivées de courbes et quotients. Tout ça pour introduire l'espace tangent.

Dans certains livre, comme celui du génial J. W. Milnor, en deux phrases on introduit le sujet (il donne juste des paramétrisations). Le plus simplement du monde. On a pas toutes les équivalences, mais on traite du sujet simplement. On donne les éléments qui comptent et on laisse sous le tapis ce qui n'a pas d'importance pour le reste du cours.

C'est pour moi une grande qualité de savoir parler simplement d'un sujet. Pouvoir définir avec précision et efficacité les objets mis en jeu.

Justement : est-ce possible ?

En maths je ne sais pas. En physique, je commence à croire que c'est nécessaire pour comprendre.

J'ai récemment commencé à m'intéresser à la relativité générale de manière plus formelle (maintenant que je connais un peu mieux les objets mathématiques derrière, sans faire de moi un spécialiste). Il y a une vraie élégance des formules et une importance centrale du langage employé.

Je ne pense pas qu'on puisse bien comprendre la relativité générale sans être passé par ces trois points que j'ai énoncé.

Les maths ce ne sont pas des formules. On peut être très formel, très précis, en n'énonçant que très peu de formules.

Je crois au contraire, qu'en étant simple et rigoureux, on arrive plus simplement à installer l'intuition. Parce qu'en laissant plus de place à la réflexion et moins au déchiffrage, on arrive plus facilement à s'en sortir.

Le livre de Milnor sur la topologie différentielle est à mes yeux un formidable exemple de cours qui remplit au mieux les trois points.

Je ne pense pas qu'il faille aretter de se poser la question "à quoi ça sert." J'ai vraiment apprecié les mathématiques pour leurs applications en sciences ou dans la vie de tout les jours ! Et c'est vraiment beau de savoir que les maths sont présente. Je pense que ça doit être une sorte de blocage sur "comment mathématiser ce que l'on voit" les non-matheux ont besoin de sentir les choses peut-être plus qu'un vrai mathématicien qui peut faire plus d'abstraction ?

J'dis ça sans avoir lu autre chose que le premier post. Je suis donc surement HS

J'en doute fortement. En maths, l'intuition et les sensations jouent un rôle clé. Il faut sentir les choses pour les comprendre avant de les formaliser. D'ailleurs, je dirais même que c'est la capacité à sentir les choses qui fait qu'on aura tendance à comprendre facilement.

Et les gens qui n'arrivent pas à avoir d'intuition souvent ne comprennent pas les définitions, les théorèmes ou même les formules. De ce point de vue, l'abstraction et l'intuition sont très voisines l'une de l'autre.

c_pages : après, même si c'est encore dans un milieu scolaire (prépa spé), je t'avouerai que ça m'arrive de ne comprendre des définitions d'un sujet d'informatique qu'après la fin de l'épreuve, sans que ça ne me gène trop pour démontrer des résultats dont je ne saisis alors pas tout le sens. L'exemple le plus frappant que j'ai en tête, c'est le sujet d'info des mines de cette année, des automates d'arbres. Je me suis dit, "bon, on va faire un dessin pour voir ce qu'il faut faire comme automate", et bah, c'est pas facile d'imaginer comment le dessiner en première approche, mais en utilisant la définition on arrive quand même à produire des résultats. Donc il y a quand même une petite frontière entre abstraction et intuition.

Là où cette frontière est ouverte, c'est, comme tu l'as dit, qu'il y a souvent besoin d'intuition (analogies, imagination, idée) pour produire des résultats à prouver.

Pour les résultats "mécaniques" où appliquer la définition suffit, c'est en effet pas nécessaire de comprendre le sujet. Mais ce sont aussi les résultats les plus inutiles.

Les résultats sur lequel l'attention doit se porter, ce sont ceux qui révèlent la nature de l'objet et pas seulement la définition donnée. Ce sont ces résultat où une bonne compréhension et intuition sont nécessaires.

En effet, et j'ajouterais qu'il faut distinguer la situation d'examen, dans laquelle il faut maximiser le point en minimisant le temps et l'énergie dépensée, de la situation d'apprentissage, dans laquelle il faut comprendre en se faisant (si possible) plaisir intellectuellement.

Mais il y a aussi des cas où il faut avancer à l'aveugle, faire les choses avec les mains, avant de vraiment comprendre et vérifier rigoureusement ce qu'on fait. Ca c'est pas de l'intuition, c'est pas non plus du bête mécanisme, mais c'est l'essentiel pour développer l'intuition sur quelque chose de parfaitement inconnu.