Les paradoxes

Bonsoir,

Il y a forcément des paradoxes ou des petits résultats étonnants car contre-intuitifs dont on a du mal à croire le résultat malgré l'implacable raisonnement qui conduit à la solution.

Je propose qu'on partage ici ces petits résultats, sans limite du domaine scientifique, et sans imposer de format.

Je commence donc par poser une petite question à laquelle je vous laisse répondre, en spoiler cela serait mieux pour éviter de gâcher le plaisir de chercher.

Holosmos a deux enfants dont une fille. Quelle est la probabilité que l'autre soit un garçon ?

C'est un modèle idéal où l'on part du principe que les probabilités d'avoir un garçon ou une fille sont équiprobables. Rien à voir avec le monde réel donc, pour préciser.

Et donc la solution de Mewtow n'est pas celle attendue.

Toujours pas ! Chaque mot de l'énoncé a un sens. Cela peut se montrer en 2 égalités, 3 lignes de définition précise du problème, et juste la formule classique $P(A|B) = \frac{P(A,B)}{P(B)}$.

EDIT: Le vilain ! Il a édité entre temps ! C'est bien ça, la réponse est $\frac 2 3$. Et voici ma solution détaillée: L'ensemble des couples possibles est $\Omega = \{(f,f)(f,g),(g,g),(g,f) \}$. En effet, on peut arbitrairement fixer en ordre du point de vu des géniteurs (ainé puis cadet)¹.
On sait qu'il y a une fille. Notons donc $I$ l'ensemble des couples qui possèdent une fille: $I = \{(f,f),(f,g),(g,f)\}$. Notons inversement les couples avec un garçon $A = \{(g,g),(f,g),(g,f)\}$.

On cherche la probabilité $P(A|I)$ c'est à dire qu'il y ait un garçon dans le couple, sachant qu'il y a une fille.

Notez que si la question avait été: Holosmos a deux enfants, l'ainée est une fille. Quelle est la probabilité que l'autre soit un garçon donnerait bien une probabilité de 0.5.

A ton dour !

EDIT: Le vilain ! Il a édité entre temps !

Et du coup, c'est mieux ?

Tout de suite ça utilise mon nom pour rendre ça plus fun ! Non mais ho :0

Je crois que l'éponge a raison, c'est le même genre de raisonnement pour plein de petits paradoxes où l'apport d'une information déséquilibre les probas.

J'ai édité à mon tour. Et c'est ton au tour d'@dri1.

La manière dont je vois ce sujet c'est qu'on peut poser une petite colle comme celle-ci et attendre, ou simplement présenter un paradoxe puis passer la main à qui la veut (par exemple si le résultat est simple à comprendre mais la démonstration très dure). Et comme dit plus haut, on peut aller tâter la physique ou autre.
Si cela vous convient bien sur.

Bon, j'ai bien un résultat fort en stock. Je sais pas si c'est vraiment un paradoxe, mais il est étonnant et impressionnant (moi je me sens mal à chaque fois :p).

On considère $\mathbf{C}\cup\{\infty\}$ que l'on note $\newcommand{iC}{\hat{\mathbf{C}}}\iC$.

Soit $f:\iC\to\iC$. On dit que $f$ est holomorphe sur $\iC$ si elle est méromorphe sur $\mathbf{C}$ et si

Concrètement, on regarde juste $\iC$ comme une sphère et on considère les deux cartes holomorphes évidentes $z\mapsto z$ et $z\mapsto 1/z$ qui sont compatibles et recouvrent $\iC$. $f$ est holomorphe si elle l'est lue dans les bonnes cartes.

Résultat : l'ensemble de ces fonctions est le corps des fractions rationnelles à coefficients dans $\mathbf{C}$.

Remarque : sur $\mathbf{C}$ c'est évidemment faux. Le simple fait de rajouter un point change tout :0

Le coup des garçons/filles ressemble à un jeu connu. On considère le jeu suivant. Il y a trois portes verrouillées derrières lesquelles on a caché des choses. Derrière deux de ces portes, il y a une chèvre à gagner, et derrière la troisième porte il y a la voiture de vos rêves¹. Au début du jeu, le joueur n'a aucun moyen de savoir quelle porte cache la voiture. Par contre, l'arbitre connaît la réponse. L'arbitre demande au joueur de choisir une porte. Ensuite, il indique au joueur une porte qu'il n'a pas choisie et qui cache une chèvre. Enfin, l'arbitre propose au joueur d'échanger la porte qu'il a choisie contre la porte que l'arbitre n'a pas désignée. Question : le joueur a-t-il intérêt à le faire ?

Je sais que ce n'est pas mon tour, mais comme c'est voisin du coup des garçons/filles, je le poste ici. J'espère que vous ne m'en voudrez pas.

En fait c'est exactement le même problème et la réponse est: il faut changer de porte pour obtenir deux tiers via le même raisonnement. L'intérêt d'avoir cela sur « deux tours », c'est qu'on peut illustrer le concept de filtration qui modélise l'information que l'on accumule au cours du temps.

Pour info pour ceux qui veulent chercher l'explication, le paradoxe des portes s'appelle le paradoxe de Monty Hall.
Pour les réfractaires aux maths, j'ai trouvé cette explication vulgarisée :

Pour l'histoire des portes la réponse dépend de la façon dont l'arbitre ouvre la porte qui cache une chèvre. S'il ouvre une porte derrière laquelle il sait qu'il y a une chèvre (la version proposée par c_pages, et ce qui se passe dans les vrais jeux télé, parce qu'il aurait l'air con de dévoiler la voiture), il faut alors effectivement changer. Mais s'il ouvre une porte au hasard et qu'il se trouve qu'elle cachait une chèvre, alors changer de porte n'a aucun effet et on a une chance sur deux de gagner que l'on change ou pas.

Le paradoxe de Simpson

L'histoire commence mal : vous avez un cancer. Le médecin vous propose soit un traitement par médicament, soit par chirurgie. Vous allez donc rechercher des études pour voir quel est le meilleur traitement :

Vous tombez sur une première étude :

• Traitement par médicament : 761 guérisons - 239 décès (76% d'efficacité)
• Traitement par chirurgie : 658 guérisons - 342 décès (66% d'efficacité)

Bon, les médocs gagnent haut la main. Puis vous trouvez une autre étude, mais qui cette fois différencie les petites tumeurs des grosses :

Grosses tumeurs :

• Traitement par médicament : 90 guérisons - 92 décès (49% d'efficacité)
• Traitement par chirurgie : 564 guérisons - 331 décès (63% d'efficacité)

Petites tumeurs :

• Traitement par médicament : 671 guérisons - 147 décès (82% d'efficacité)
• Traitement par chirurgie : 94 guérisons - 11 décès (90% d'efficacité)

Là, dans tous les cas, c'est la chirurgie qui gagne… Deux études contradictoires…

Paradoxe !

Bon, j'ai honteusement piqué l'exemple dans une vidéo de Sciences étonnantes, donc rendons à César ce qui n'est pas à moi, pour l'explication, je vous mets la vidéo :

J'en ai une, très connue :

"Dans une ville, le barbier rase tous ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes. Qui rase le barbier ?"

Le barbier est une femme

En fait, il s'agit du "Paradoxe de Russel" qui montre l'inexistence de l’ensemble de la totalité des ensembles.

$F = {E ∈ Ê | E ∉ E} $

Par l'absurde puisque $Ê$ est considéré comme l'ensemble de tous les ensembles. J'ai vu ce paradoxe lors d'une introduction aux ensembles et applications.

Ce paradoxe est mentionné au début de ce cours si ça vous intéresse.

Techniquement, dire que le barbier rase tous ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes ne veut pas dire que le barbier ne se rase pas lui-même.

@Vayel, excellent document. Tres bien explique pour ce que j'en ai lu. Merci du partage.

C'est un cours de MPSI (Maths Sup). D'autres sont disponibles ici.