[Maths] Marathon de problèmes

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@ blo yhg, Si par séparé tu entends union, il y en a une infinité non ?

N.B : on ne peut pas édité les messages masqués ?

Édité par InaDeepThink

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@InaDeepThink : Je ne comprends pas ta question, par "séparer" je n’entends pas "union", je ne vois pas quel sens ça aurait. Par exemple avec 1 ligne, on peut séparer le plan en 2. Avec 2 lignes, on peut séparer le plan en 4. Avec 3 lignes, on peut séparer le plan en 7. (Presque les premières puissances de $2$.)

Il faut :

  1. Trouver une formule donnant le nombre de régions délimitées par $n$ hyperplans dans $ℝ^k$ (en position générale). Lui ajouter le nombre de sous-espaces qui s’obtiennent comme intersection de certains de ces hyperplans.
  2. Trouver une formule donnant pour $k$ élèves et $n$ lancers permis, le nombre maximal d’étages qu’il est possible de tester.
  3. Trouver une interprétation de pourquoi ça donne la même formule.
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Oh, on m’a montré un problème marrant aujourd’hui, il est sûrement déjà passé sur le sdz mais pas ici donc je le pose :

Problème 25: je dispose d’un polynôme à coefficients entiers et positifs, votre but est de trouver ce polynôme. Pour cela, vous avez le droit de me demander deux fois l’image d’un réel de votre choix par ce polynôme (exemple: vous me demandez P(pi) puis P(54)).

Quelle est la démarche à suivre pour gagner à tous les coups ?

Question bonus, le problème est le même mais doit être résolu de tête, sans faire appel à une calculette ou autre.

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Auteur du sujet

$k = P(1)$ (on obtient donc la somme des coefficients de $P$). On note $s$ le nombre de chiffres de $k$. Ensuite on demande gentiment : $P(10^{s+1})$. On obtient alors : $\displaystyle \sum_{k = 0}^{n} a_k \cdot 10^{sk+k}$, donc puisque le coefficent devant $a_{k+1}$ est : $10^{(sk+k)+s+1}$ et que chacun des $a_k$ est positif et à un nombre de chiffres strictement inférieur à $s$, on peut bien identifier dans $P(10^{s+1})$ les coefficients.

Édité par InaDeepThink

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Ce problème était passé sur culturemath.

Question bonus, le problème est le même mais doit être résolu de tête, sans faire appel à une calculette ou autre.

melepe

Ça, j’ai pas compris par contre.

Lucas-84

Peut-être qu’il faut pouvoir donner la liste des coefficients directement quand on nous donne les réponses dans notre manière habituelle de représenter les nombres, comme le fait la réponse de InaDeepThink ? Mais bon ça reste idéalisé quand même suivant le polynôme.

Je trouve ça plus rigolo formulé comme « le nombre minimum d’évaluations pour déterminer le polynôme », sans spoiler ce nombre.

Tout à fait, mais ça n’est plus la même question alors, ça change la réponse (bon peut-être pas pour la question bonus). Et même que la réponse est dans le message de melepe, donc non je ne triche pas. :D

Juste @blo yhg, ne poste surtout pas une solution à ton problème, car j’ai pas eu le temps mais je veux absolument le chercher :)

Ok, voici la réponse alors.

Hahaha t’as eu peur hein ! :diable:

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@InaDeepThink, c’est ça !

@Lucas-84 :

Généralement quand on résout le problème on a l’idée de demander P(1), puis (P(P(1) + 1), et alors les coefficients sont affichés en base P(1) + 1. Sauf que donner des coefficients en base P(P(1) + 1) c’est pas intuitif, on préfère les coefficients en base 10. Pour ça, évaluer P à la puissance de 10 directement supérieure à P(1) te donne les coefficients en base 10 (et donc tu n’as pas besoin de faire des changements de base calculatoires).

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Je signale juste que j’ai fait une erreur dans l’énigme que j’ai donnée en lien avec le problème du jeter d’étudiants (merci à InaDeepThink). La version correcte était la première : on ne doit pas ajouter le nombre de sous-espaces obtenus comme intersection de certains des $n$ hyperplans.

Le problème que j’avais considéré quand j’ai vérifié ce que je disais de mémoire n’était pas le bon : j’ai considéré que quand on jette un étudiant d’un étage, on obtient l’information de si l’étage critique est égal, plus petit ou plus grand que l’étage du jeter. Avec cette version, il faut bien ajouter les sous-espaces. L’interprétation géométrique fonctionne pour les deux versions.

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