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Terminons plus en douceur ce tutoriel avec une série de contre-exemples et exemples censés enrichir votre culture sur le sujet et vous donner une base de rédaction et de réflexion pour vos problèmes à venir.

Vous y trouverez également une série de développements très basiques et à connaître. À partir de ces derniers, comme vous le savez déjà, vous pourrez en construire bien d’autres.

Contre-exemples et erreurs à ne pas commettre

Comme nous l’avons vu précédemment, les développements limités ont des propriétés très agréables. Par exemple, les développements limités du produit, de la somme et de la composition sont respectivement les produit, somme et composition des développements limités.

Mais il y a certaines propriétés qui ne sont pas vérifiées. Par exemple, admettre un développement limité à l’ordre nn ne permet pas de dire que ff est de classe CnC^n pour n2n\geq 2 alors que c’est bien le cas pour n=0n=0 ou n=1n=1.

Contre-exemples

Sur la relation « être négligeable devant »

o()o(\cdot) n’est pas compatible avec l’addition. En effet, on a au voisinage de x=+x= +\infty : x=x31x2=o(x3)x = x^3\frac{1}{x^2} = o(x^3)

et x2=x31x=o(x3)-x^2 = -x^3\frac{1}{x}= o(-x^3)

mais on a pas xx2=o(0)x-x^2 = o(0) puisque xx2x-x^2 ne tend pas vers 00 en l’infini.

Un développement limité à l’ordre nn n’implique pas CnC^n

On considère l’application ff au voisinage de x=0x=0 définie par f(0)=0f(0) = 0 et x0,f(x)=x3sin(1/x).\forall x \neq 0, \; f(x) = x^3\sin(1/x).

ff est bien continue en 00. En définissant ϵ\epsilon par ϵ(0)=0\epsilon(0) = 0 et x0,ϵ(x)=xsin(1/x),\forall x \neq 0, \epsilon(x) = x \sin(1/x),

ϵ\epsilon est continue en 00 et on a f(x)=x2ϵ(x)f(x) = x^2 \epsilon(x)

ce qui montre que ff admet comme développement limité à l’ordre 22 en x=0x= 0 : f(x)=o(x2).f(x) = o(x^2).

Maintenant il suffit de montrer que ff n’est pas dérivable en 00 deux fois alors qu’elle y admet un développement limité à l’ordre 22.

On a x0,f(x)f(0)x0=x2sin(1/x)\forall x \neq 0, \; \frac{f(x) - f(0)}{x-0} = x^2\sin(1/x)

et donc ff est dérivable en 00 et f(0)=0f'(0) = 0. De plus pour tout x0x\neq 0 on a que ff est dérivable en xx et f(x)=3x2sin(1/x)xcos(1/x).f'(x) = 3x^2\sin(1/x) - x\cos(1/x).

Mais : x0,f(x)f(0)x0=3x2sin(1/x)xcos(1/x)x=3xsin(1/x)cos(1/x)\forall x\neq 0, \; \frac{f'(x) - f'(0)}{x-0} = \frac{3x^2\sin(1/x) - x\cos(1/x)}{x} = 3x\sin(1/x) - \cos(1/x)

ce qui montre que ff' n’est pas dérivable en 00 puisque cos(1/x)\cos(1/x) n’admet pas de limite en 00.

Développements limités de référence

Les développements limités qui suivent sont tous au voisinage de x=0x=0. Ils sont à connaître ou à savoir retrouver rapidement.

Soit nNn\in \mathbf{N} et soit aRa\in\mathbf{R}.

  • (1+x)a=1+ax+a(a1)2x2++a(a1)(an+1)n!xn+o(xn).\displaystyle (1+x)^a = 1 + a\cdot x + \frac{a(a-1)}{2}x^2 + \ldots + \frac{a(a-1)\cdots (a-n+1)}{n!}x^n + o(x^n).
  • 11x=k=0nxk+o(xn).\displaystyle\frac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^n x^k + o(x^n).
  • ln(1x)=(k=1nxkk)+o(xn).\displaystyle\ln(1-x) = -\left(\sum_{k=1}^n \frac{x^k}{k}\right) + o(x^n).
  • exp(x)=k=0nxkk!+o(xn).\displaystyle\exp(x) = \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} + o(x^n).
  • cos(x)=k=0n(1)kx2k(2k)!+o(x2n+1).\displaystyle\cos(x) = \sum_{k=0}^n (-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}+ o(x^{2n+1}).
  • sin(x)=k=0n(1)kx2k+1(2k+1)!+o(x2n+2).\displaystyle\sin(x) = \sum_{k=0}^n (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+ o(x^{2n+2}).

En principe, les autres développements limités usuels (fonctions hyperboliques par exemple) sont faciles à retrouver à partir de ces développements et des règles d’opérations sur les développements limités (pour former tangente par exemple).

Études de cas

Dans cette dernière partie, on va essayer d’appliquer tout ce que l’on a appris à des cas plus « concrets ».

Nous allons en aborder deux, une étude de limite et l’approximation d’un nombre.

Étude de limite

On va essayer d’établir l’existence et la valeur de la limite : limx01x21(sin(x))2.\lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2} - \frac{1}{(\sin(x))^2}.

On remarque tout d’abord qu’il s’agit bien d’une forme indéterminée puisque lim1x2=+\lim \frac{1}{x^2} = +\infty et lim1(sin(x))2=\lim \frac{-1}{(\sin(x))^2} = -\infty. On considère à partir de maintenant les limites en 00, ce qui permet d’alléger l’écriture.

Il va s’agir de faire un développement limité du second terme. Pour rappel sin(x)=xx36+x55!++x2n+1(2n+1)!+o(x2n+2).\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{5!} + \ldots + \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+2}).

Si on ne développe qu’à l’ordre n=1n=1 on va se retrouver à la situation suivante : lim1x21x2+o(x2)=limx2+o(x2)x2x2(x2+o(x2))=limo(x2)x4+o(x4)\lim \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^2 + o(x^2)} =\lim \frac{x^2 + o(x^2) - x^2}{x^2(x^2+o(x^2))}= \lim \frac{o(x^2)}{x^4+o(x^4)}

ce qui est encore une forme indéterminée puisque le numérateur et le dénominateur tendent vers 00.

On va donc développer à l’ordre n=4n=4 en x=0x=0 : sin(x)=xx36+o(x4),(sin(x))2=x2x43+o(x4).\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + o(x^4), \; (\sin(x))^2 = x^2 - \frac{x^4}{3} + o(x^4).

Ainsi : lim1x21(sin(x))2=lim1x21x2(1x23+o(x2))=lim1x2(111x2/3+o(x2)).\lim\frac{1}{x^2} - \frac{1}{(\sin(x))^2} = \lim \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^2(1 - \frac{x^2}{3} + o(x^2))} = \lim \frac{1}{x^2}\left( 1 - \frac{1}{1-x^2/3 + o(x^2)}\right).

Mais quand xx tend vers 00 on a que 1x2/3+o(x2)1-x^2/3 + o(x^2) tend vers 11 et donc on peut faire un développement limité de 11x2/3+o(x2)\frac{1}{1-x^2/3 + o(x^2)} en x=0x=0. Pour rappel quand XX est au voisinage de 00 : 11X=1+X+o(X)\frac{1}{1-X} = 1 + X +o(X)

et donc au voisinage de x=0x=0 11x2/3+o(x2)=1+x2/3+o(x2).\frac{1}{1-x^2/3 + o(x^2)} = 1 +x^2/3 + o(x^2).

Ainsi, lim1x21(sin(x))2=lim1(1+x2/3+o(x2))x2=limx23x2+o(1)=lim13+o(1)=13.\lim \frac{1}{x^2} - \frac{1}{(\sin(x))^2} = \lim \frac{1 -( 1 +x^2/3 + o(x^2))}{x^2} = \lim \frac{-x^2}{3x^2} + o(1) = \lim \frac{-1}{3} + o(1) = \frac{-1}{3}.

Conclusion : on a établi que limx01x21(sin(x))2=13\lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2} - \frac{1}{(\sin(x))^2} = -\frac{1}{3}

ce qui est loin d’être évident a priori !

Approximation

On va donner une méthode d’approximation du nombre e=exp(1)e=\exp(1), la base du logarithme népérien. Pour cela on va utiliser l’encadrement du reste de la formule de Young-Lagrange.

On commence par développer exp(x)\exp(x) au voisinage de x=0x=0 à l’ordre nn. On a : exp(x)=k=0nxkk!+Rn+1(x)\exp(x) = \sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!} + R_{n+1}(x)

et on a qu’il existe θ\theta entre 00 et 11 tel que Rn+1(x)=xn+1(n+1)!exp(θx)R_{n+1}(x) = \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} \exp(\theta x)

mais comme θ1\theta \leq 1 on a exp(θx)exp(x)\exp(\theta x)\leq \exp(x) et donc finalement exp(1)Rn+1(1)e(n+1)!|\exp(1) - R_{n+1}(1) | \leq \frac{e}{(n+1)!}

ce qui très, très petit !

Pour vous donner une idée plus précise de l’ordre de grandeur de 1/n!1/n! on a : 15!0.008,18!0.00002.\frac{1}{5!} \simeq 0.008, \; \frac{1}{8!} \simeq 0.00002.

Une approximation grossière de ee donne e3e\leq 3. Ainsi, en développant à l’ordre 77 on aurait un reste de moins de un millième !

Or, on peut calculer aisément : k=071k!=1+1+12+16+124+1120+1720+15040=685252\sum_{k=0}^7 \frac{1}{k!} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + \frac{1}{720} + \frac{1}{5040} = \frac{685}{252}

cela donne : e2.7182e \simeq 2.7182

et on sait que la troisième décimale est exacte.

Fonctions plates

Maintenant que vous savez faire des développements limités et que vous savez à quoi cela peut servir, on peut se poser une question simple.

Est-ce qu’un développement limité qui donne un polynôme nul à tout ordre, implique que la fonction développée est localement nulle ?

Nous allons voir qu’en analyse réelle c’est faux : il existe des fonctions dites « plates » dont le développement limité à tout ordre en un certain aRa\in\mathbf{R} donne un polynôme nul sans que la fonction soit nulle localement.

Définition formelle

Soit f:VRf : V\to\mathbf{R} une fonction numérique, supposée CC^\infty et où VV un voisinage de aRa\in\mathbf{R}.


Définition

ff est dite plate si pour tout nNn\in\mathbf{N} et tout hh suffisamment petit pour que a+hVa+h\in V on a : f(a+h)=o(hn).f(a+h) = o(h^n).


Par exemple, le plus trivial qui existe, f=0f=0, la fonction identiquement nulle sur R\mathbf{R} est plate.

Nous allons donner deux exemples non triviaux de telles fonctions. Le premier exemple doit vous rester à l’esprit, il est important dans d’autres problématiques en analyse.

Exemples

Premier exemple

On considère V=RV = \mathbf{R} et la fonction ff définie par f(0)=0f(0) = 0 et f(x)=exp(1x2)f(x)= \exp\left(-\frac{1}{x^2}\right)

pour tout xx non nul.

Vous pouvez vérifier que ff est bien CC^\infty et que pour tout nNn\in\mathbf{N}, f(n)(0)=0f^{(n)}(0) = 0. Ainsi, on a bien pour tout nNn\in\mathbf{N} : f(h)=o(hn)f(h) = o(h^n)

pour tout hh réel.

Cependant, remarquez que ff ne s’annule qu’en 00. En effet, pour tout xx non nul, exp(1/x2)\exp(-1/x^2) ne s’annule pas.

Voici, graphiquement, à quoi cette fonction ressemble :

La dénomination « plate » devrait s’éclaircir : on a vraiment l’impression que la courbe s’aplatit sur y=0y=0.

Deuxième exemple

Une autre manière de faire une fonction plate est d’utiliser un objet qui n’a pas été présenté : la série de Taylor d’une fonction CC^\infty. Il m’est impossible de traiter de cet objet ici, cependant vous pouvez le penser comme une généralisation des développements limités à l’ordre n=+n = +\infty.

Nous allons nous baser sur la fonction suivante : f:x11xf: x\mapsto \frac{1}{1-x}

qui est définie dans un voisinage de 00. En particulier, elle est bien définie sur ]1,1[]-1,1[.

Un simple calcul montre que pour tout nNn\in\mathbf{N} et tout h]1,1[h\in ]-1,1[, : f(h)=k=0nhk+o(hn).f(h) = \sum_{k=0}^n h^k + o(h^n).

On va considérer la « série entière » : S(x)=k0xk.S(x) = \sum_{k\geq 0}x^k.

On dit que SS est simplement convergente en xx lorsque la suite de ses sommes partielles : (k=0nxk)nN\left(\sum_{k=0}^n x^k \right)_{n\in\mathbf{N}}

converge.

Or on peut montrer très facilement que SS converge simplement sur ]1,1[]-1,1[. En effet, vous connaissez sans doute la formule : k=0nxk=1xn+11x\sum_{k=0}^n x^k = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}

valable pour tout x]1,1[.x\in ]-1,1[. En particulier, on peut faire tendre nn vers ++\infty, ce qui fait tendre xn+1x^{n+1} vers 00 et montre que : S(x)=k=0+xk=11xS(x) = \sum_{k=0}^{+\infty}x^k = \frac{1}{1-x}

pour tout x]1,1[x\in]-1,1[.

Maintenant on peut se demander ce qui se passe en dehors de ]1,1[]-1,1[.

Par des outils d’analyse des séries numériques, vous pourriez montrer assez facilement que S(x)S(x) diverge très vite pour xx tel que x1|x|\geq 1. En effet, remarquez que xk|x|^k ne tend pas vers 00 quand kk tend vers ++\infty. Cela empêche la suite des sommes partielles de converger !

Et pourtant, ff est bien définie pour x1x\neq 1. On arrive donc à une bifurcation : la série SS n’a plus de valeur finie pour x1|x|\geq 1 et pourtant ff est bien définie pour x1|x|\geq 1 et x1x\neq 1.

On peut regarder graphiquement ce qu’il se passe. Bien évidemment, je ne peux pas calculer S(x)S(x) pour x>1|x|>1. Je vais donc tricher un peu et considérer l’application : g(x)=k=0η1xk=1xη1xg(x) = \sum_{k=0}^{\eta-1} x^k = \frac{1-x^\eta}{1-x}

et je prends η=106\eta = 10^6.

Je trace en bleu l’application ff sur [1,1][-1,1] (une asymptote verticale bleue apparaîtra en x=1x=1) et en rouge fgf-g sur [1,1][-1,1].

J’observe la chose suivante :

On se rend bien compte que fgf-g est plate dans un voisinage de 00 mais « explose » (elle part à l’infini) dès que x1|x|\geq 1.


Ce tutoriel se termine. Pour consolider votre apprentissage, n’hésitez pas à reprendre les exercices ci-dessus sans correction et à reconstruire la réflexion. Pensez également à prendre soin de la rédaction.

Vous avez appris de nombreuses choses, profitez-en :-)