Étant donnée une fonction numérique qui s’annule en , comment donner une bonne approximation du nombre sans en connaître la valeur exacte ?
La méthode de Newton est un procédé qui permet de répondre à cette question. Elle fournit une autre fonction numérique qu’il faut itérer (c’est-à-dire prendre les images successives) à partir d’une première valeur. Cette suite des itérations converge généralement vers (ou une autre racine) plus ou moins rapidement selon la fonction numérique donnée (celle dont on cherche une racine).
Avec l’outil des développements limités, nous allons établir la méthode de Newton et nous allons en étudier le comportement dans différents cas. Nous verrons où elle s’applique le mieux et où elle a un intérêt limité.
La méthode de Newton est probablement l’une des méthodes les plus utilisées en calcul numérique. Ces intérêts sont très nombreux. On peut par exemple l’utiliser pour trouver des optimums locaux (dans le cas des racines d’une dérivée) ou pour approcher des nombres comme qui n’ont pas de représentation numérique exacte en machine.