Résumé rapide

Il y a principalement deux formules de Taylor pour le développement de $f:I\to\mathbf{R}$. La première est la plus couramment utilisée pour établir des limites explicites.

Formule sans reste intégral

Si $f$ est de classe $C^n$ alors $f(h) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{k}(0)}{k!}h^k + o(h^n) = f(0) + f'(0)h + \ldots + \frac{f^{(n)}}{n!}h^n + o(h^n).$

La réciproque est fausse : si $f$ admet un développement d’ordre $n$ alors $f$ n’est pas nécessairement de classe $C^n$. Un contre-exemple a été exposé précédemment.

Formule avec reste intégral

Sous les mêmes hypothèses, on peut faire un développement de $f$ à l’ordre $n-1$ (et non $n$) avec un reste explicite : $f(h) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{k}(0)}{k!}h^k + \frac{f^{(n)}(\theta h)}{n!}h^n$

avec $\theta$ strictement compris entre $0$ et $1$. En particulier, $\frac{f^{(n)}(\theta h)}{n!}h^n = o(h^{n-1}).$

Somme, produit, quotient et composition

On se donne $f,g:I\to\mathbf{R}$ toutes les deux de classe $C^n$. Alors sans aucune condition supplémentaire, on peut faire les développements limités à l’ordre $n$ de $fg$ et $f+g$. De plus, les polynômes de ces développements sont respectivement le produit et la somme des polynômes des développements de $f$ et $g$.

En d’autre termes, si on note $P_f$ le polynôme du développement limité de $f$ à l’ordre $n$ et $P_g$ celui de $g$ : $f+g = P_f+P_g + o(h^n), \; fg = P_fP_g + o(h^n).$

Pour le quotient $f/g$ il suffit de supposer que $g$ ne s’annule pas en $0$ pour pouvoir procéder au développement du quotient qui vérifie : $f/g = P_f/P_g+o(h^n)$

où l’on définit le quotient de deux polynômes par le tronqué du quotient selon les puissances croissantes.

Si $g(0)=0$ alors $f\circ g$ est développable à l’ordre $n$ et $f\circ g = P_f\circ P_g + o(h^n).$

À chaque fois, si des termes en $h^k$ avec $k\geq n$ apparaissent, on les fait passer dans le $o(h^n)$.

Primitive, dérivation

Si $f$ admet un développement à l’ordre $n$, alors $F$ vérifiant $F(0)=0$ et $F'=f$ admet un développement à l’ordre $n+1$ en $0$. De plus, le polynôme dérivé du polynôme du développement de $F$ est celui de $f$.

Lorsque vous planchez sur un calcul voici quelques conseils pour votre brouillon.

N’écrivez pas les $o(h^n)$. Ils sont totalement transparents aux opérations rappelées plus haut et n’auront généralement pas de vraie importance.

Pour établir l’ordre du développement limité à calculer voici quelques indications :

• si vous devez étudier un produit ou une somme ou une composition, essayez les plus petits développements pour avoir un polynôme non nul dans le développement obtenu ;
• si vous devez étudier un quotient (par exemple pour une forme indéterminée), commencez par développer le dénominateur afin de connaitre la plus petite puissance en jeu, si cette puissance est $n$ alors essayez de développer le numérateur à l’ordre $n$.

Lorsque plusieurs combinaisons interviennent (par exemple une composition et un quotient), allez dans l’ordre des opérations.

Dans la plupart des cas, ces deux conseils vous feront avancer vite dans les calculs afin d’y voir clair et de pouvoir dans la rédaction réduire le nombre de tâches à effectuer (si les calculs sont faits, plus besoin d’y penser). Cependant, dans la rédaction il faudra généralement mettre plus de détails (notamment sur l’écriture des $o(h^n)$). Ne négligez aucune des deux étapes.