Construction et analyse de la méthode de Newton

Théorème d’inversion locale

Nous allons utiliser un théorème très fort d’analyse : le théorème d’inversion locale. L’énoncé général a un sens dans $\mathbf{R}^n$ mais nous nous limiterons au cas $n=1$ qui correspond au contexte utilisé jusqu’alors. Je vais donner ici la forme utilisée de ce théorème, mais pour les plus curieux de nombreuses ressources existent à ce sujet (nécessitant la plupart du temps des notions de calcul différentiel).

Donnons-nous une fonction $f:V_a\to \mathbf{R}$ d’un voisinage, $V_a$, de $a\in\mathbf{R}$. On va supposer que $f$ est dérivable sur $V_a$.

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Théorème

Si $f'(a)$ est non nul alors il existe $U_a\subset V_a$ un voisinage de $a$ (plus petit ou égal à $V_a$) tel que $f$ est une bijection de $U_a$ dans $f(U_a)$ et tel que $g = f^{-1}$ est dérivable sur $f(U_a)$.

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On appelle $g$ l’inverse local (« inverse » est masculin !) de $f$ au voisinage de $a$.

Cela signifie notamment que $f\circ g = g\circ f = {\rm Id}$ localement autour de $a$ et $f(a)$.

Ce n’est pas un résultat généralisable à toutes les fonctions dérivables ! La fonction $x\mapsto x^2$ est de dérivée nulle en $0$ et n’est pas une bijection autour de $0$ (on a toujours $(-x)^2=x^2$). Et la réciproque est également fausse : la fonction $x\mapsto x^3$ est une bijection mais est de dérivée nulle en $0$.

Fonction étudiée

Dans la suite, nous supposerons que $f$ est une fonction numérique de classe $C^3$ définie au voisinage $V_\alpha$ d’un zéro simple, $\alpha\in\mathbf{R}$.

On suppose que $\alpha$ est un zéro simple, c’est-à-dire $f'(\alpha) \neq 0$ et $f(\alpha +h) = f'(\alpha) h + o(h).$

Ainsi, par le théorème d’inversion locale, il existe une application $g : V_0 \to \mathbf{R}$ définie dans un voisinage de $0$ suffisamment petit tel que l’on a : $f\circ g = g\circ f = {\rm Id}.$

Ce que l’on va faire

Étant donnée une première approximation de $\alpha$, disons $x$, on va étudier $f$ et $g$ au voisinage de $x$ et $y = f(x)$. Comme $\alpha = g(0)$, on va commencer par développer l’expression $X=g(Y)$ au voisinage de $y$ en puissances de $(Y-y)$ puis nous prendrons $Y=0$ afin d’avoir une expression qui donne une meilleure approximation de $\alpha$.

Commençons donc par un premier développement de l’expression $X=g(Y)$ au voisinage de $y$ et en puissances de $(Y-y)$ (nous gardons les notations précédemment données).

$X = g(y) + g'(y)(Y-y) + R_2(Y)$

avec $R_2(Y)$ le reste à l’ordre $2$ du développement limité.

Puisque $y = f(x)$, on a $g(y) = g(f(x))= x$, d’où : $X = x + g'(y)(Y-y) + R_2(Y).$

En $Y=0$, c’est-à-dire $X=\alpha$, on a donc :

$\alpha = x +g'(y)\cdot(-y) + R_{2}(0)$

On va maintenant calculer $g'(y)$ et on obtiendra la méthode de Newton. Pour rappel, on a la formule : $f\circ g = {\rm Id}$

d’où : $(f'\circ g) \cdot g' = 1$

et donc : $g' = \frac{1}{f'\circ g}$

à condition que $f'\circ g$ soit non nul au voisinage du point dont on évalue $g'$.

Mais comme $\alpha$ est une racine simple, cette dernière condition est vérifiée et on obtient : $g'(y) = \frac{1}{f'(g(y))} = \frac{1}{f'(x)}.$

Finalement, on a : $\alpha = x - \frac{f(x)}{f'(x)} + R_2(0).$

On appelle méthode de Newton l’application : $x \mapsto x - \frac{f(x)}{f'(x)}.$

Dans la suite, il va s’agir de montrer que cette application permet bien d’approcher efficacement $\alpha$. Intuitivement, on peut comprendre pourquoi ça marche : $R_2(0)$ sera très petit devant les autres termes et on devrait donc s’approcher de $\alpha$.

Nous allons montrer, qu’étant donné $x$ proche de $\alpha$, la méthode de Newton permet effectivement d’obtenir une meilleure approximation de $\alpha$ en l’évaluant en $x$.

Plus symboliquement, nous noterons $N$ la méthode de Newton et nous allons montrer qu’au voisinage de $\alpha$ on a : $N(\alpha + h) = \alpha +\frac{N''(\alpha)}{2}h^2 + o(h^2)$

ce qui montre que pour $h$ assez petit, on a : $|N(\alpha + h) - \alpha| \leq \frac{|N''(\alpha)|}{2} h^2$

et donc pour $x = \alpha + h$ on obtient effectivement une meilleure approximation. On dit que cette convergence est quadratique car le terme majorant est de l’ordre de $h^2$.

L’hypothèse $C^3$ de $f$ va se révéler nécessaire à l’existence de $N''(\alpha)$ que nous ne calculerons pas mais qui existe bien.

Calcul de $N'(\alpha)$

Calculons $N'$ au voisinage de $\alpha$. Pour rappel : $N(x) = x - \frac{f(x)}{f'(x)}$

on a alors : $N'(x) = 1 - \frac{f'(x)f'(x) - f(x)f''(x)}{(f'(x))^2} = \frac{f(x)f''(x)}{f'(x)^2}$

mais en $x=\alpha$ on a $f(x) = 0$ et $f'(x)\neq 0$ par hypothèse. Ainsi, on a bien $N'(\alpha) = 0$ et l’égalité énoncée : $N(\alpha + h) = \alpha +\frac{N''(\alpha)}{2}h^2 + o(h^2).$

Sous des hypothèses plus faibles pour $f$

Supposons plus largement que $f$ est de classe $C^m$ avec un $0$ d’ordre $n$ en $\alpha$ de sorte que $m>n+2$. En d’autres termes, au voisinage de $\alpha$ on a : $f(\alpha + h) = h^n g(h) + R_{m-2}(h)$

où $g$ est un polynôme de degré $m-n-2$ non nul en $h=0$. En particulier, on a : $f(\alpha + h) = \frac{f^{(n)}}{n!}h^n + R_{n+1}(h).$

Nous n’allons pas reconstruire $N$ mais simplement analyser son comportement dans un tel cas. Il faut en fait calculer (si possible) le terme : $N'(\alpha) = \frac{f(x)f''(x)}{f'(x)^2}.$

Nous ferons d’une pierre deux coups en montrant que cette expression a du sens et qu’elle vaut $(n-1)/n$.

Commençons par le calcul de $f'$ et $f''$ avec le développement limité en fonction de $g$ donné :

C’est bien pour le calcul de $R_{m-2}''(h)$ que l’on a besoin d’avoir $f$ de classe $C^m$ avec $m>n+2$. Pour plus de lisibilité, on va oublier d’écrire les termes $R_{m-2}(h)$, $R_{m-2}'(h)$ et $R_{m-2}''(h)$ qui n’ont pas d’importance puisque bien plus petits que les autres pour un voisinage de $\alpha$ assez petit.

On remplace dans $N'(x)$ (pour rappel, $x = \alpha + h$) et on arrange les termes pour éliminer ceux en $h^p$ :

Donc cette expression a bien du sens en $x=\alpha$. Mais en $x=\alpha$ on a $h = 0$, d’où :

$N'(\alpha) = \frac{n(n-1)g(0)^2}{n^2g(0)^2} = \frac{n-1}{n}.$

Cela montre que dans un voisinage suffisamment petit de $\alpha$ on a : $|N(\alpha + h) - \alpha|\leq \frac{n-1}{n} |h|$

et donc la méthode converge également pour une telle application $f$. Cependant cette convergence n’est plus quadratique (sauf dans le cas $n=1$ déjà traité), elle est linéaire.