Quelques exemples

La méthode de Newton permet de mettre en évidence une suite à valeurs rationnelles et qui converge (et vite) vers $\sqrt{2}$ (ce qui a aussi une utilité théorique).

En effet, le polynôme $x^2-2$ a une racine simple en $\sqrt{2}$ et donc la suite de terme général : $u_n = u_{n-1} - \frac{u_{n-1}^2 - 2}{2u_{n-1}}$

converge vers $\sqrt{2}$ pour $u_0$ suffisamment proche de $\sqrt{2}$ (les hypothèses de régularité sont bien vérifiées). En réalité, pour tout $u_0>0$ cela fonctionne.

Avec $u_0 = 1$ on a les premières valeurs suivantes :

Et vous pouvez vérifier que cette dernière approximation de $\sqrt{2}$ est juste sur les 5 premières décimales !

Un grand oublié de notre méthode est la classe des fonctions plates. Pour rappel, les fonctions plates sont les fonctions dont le développement limité est nul alors qu’elles sont non nécessairement nulles.

Par exemple, celui que vous devriez retenir, la fonction suivante : $f : x \mapsto e^{-1/x^2}, \; f(0) = 0$

est plate au voisinage de $0$. En effet, toutes les dérivées successives de $f$ s’annulent en $0$ et pourtant, pour $x$ non nul, $f(x)$ est non nul. Succinctement, on a pour tout entier $n$ et tout $h$ réel : $f(0+h) = 0 + o(h^n) .$

Si cet exemple vous semble difficile, vous devriez probablement relire l’extrait sur les fonctions plates dans le chapitre des compléments de la première partie.

La fonction $f$ précédente est donc un exemple de fonction plate, la méthode de Newton ne s’applique donc à priori pas. En effet, elle n’est pas prévue pour des fonctions ayant une racine d’ordre non fini (puisqu’aucune dérivée $n$-ième est non nulle, $f$ n’a pas une racine d’ordre fini en $0$). Cependant, supposons que ça soit le cas et posons : $N(x) = x - \frac{e^{-1/x^2}}{\frac{2}{x^3}e^{-1/x^2}} = x - \frac{x^3}{2}.$

On va naïvement itérer ce procédé en prenant pour première valeur $x = 1$. Regardons donc la suite de terme général : $u_{n+1} = u_{n} - \frac{u_n^3}{2}$

et avec $u_0 = 1$.

On obtient comme premiers termes :

Les calculs sont approchés, il n’empêche que l’on observe facilement que cette suite semble converger mais très, très, lentement. Il semble donc que dans ce cas particulier la méthode de Newton donne une convergence, mais ce n’est pas assuré pour toutes les fonctions plates !

La méthode de Newton est donc très peu efficace sur un tel cas, il faudrait se tourner vers d’autres méthodes de convergence pour ces fonctions un peu exotiques.